Классические методы определения экстремумов

Во многих экономических моделях исследования операций зависимости между постоянными и переменными факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, более детальное рассмотрение позволяет обнаружить их нелиней­ность. Как правило, такие показатели, как прибыль, себестои­мость, капитальные затраты на производство и др., в действи­тельности зависят от объема производства, расхода ресурсов и т.п. нелинейно. В этом случае возникает задача нелинейного программирования, математическая модель которой (0.1), (0.2) приведена во введении.

Можно выделить класс нелинейных задач, которые относятся к классическим методам оптимизации. Допустим, что среди огра­ничений (0.1)нет неравенств, не обязательны условия неотрица­тельности, переменные не являются дискретными, т < п, а функ­ции φ_i(X) и f(Х) непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка. В этом случае задачу оптимизации можно сформулировать так: найти переменные х₁, х₂,.., х_n, удов­летворяющие системе уравнений

(7.1)

и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию

. (7.2)

Такие задачи в принципе можно решать классическими мето­дами дифференциального исчисления. Однако на этом пути встречаются такие вычислительные трудности, которые делают необходимым поиск других методов решения. Поэтому классические методы часто используется не в качестве вычислительного средства, а как основа для теоретиче­ского анализа.

Примером типичной и простой нелинейной задачи является следующая: данное предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х₁ и х₂ соответст­венно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т.п., а величины х₁ и х₂ — затраты факторов производства. Факторы производства впредь будем считать взаимозаменяемыми. Если это "труд" и "машины", то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат машин в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое). В сельском хозяйстве взаимозаменяе­мыми факторами могут быть посевные площади или мине­ральные удобрения (экстенсивный или интенсивный метод производства).

Объем производства (выраженный в натуральных или стои­мостных единицах) является функцией затрат производства .Эта зависимость называется производственной функ­цией. Издержки зависят от расхода обоих факторов (х₁ и х₂) и от цен этих факторов (с₁ и с₂). Совокупные издержки, выражаются формулой . Требуется при данных совокупных из­держках определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции z.

Математическая модель этой задачи имеет вид: определить та­кие переменные х₁ и х₂, удовлетворяющие условиям

(7.3)

при которых функция

(7.4)

достигает максимума.

Как правило, функция (7.4) может иметь произвольный не­линейный вид.

Используя классические методы оптимизации, следует четко представлять себе различие между локальным экстремумом функ­ции, глобальным экстремумом и условным экстремумом. При этом полезно повторить определение локального и глобального экс­тремумов для функции одной переменной. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных п не меньше 2 (п ≥ 2).

Будем полагать, что функция дваж­ды дифференцируема в точке и в некоторой ее окрестности. Если для всех точек X этой окрестно­сти или , то говорят, что функция f(X) имеет экстремум в X^* (соответственно максимум или мини­мум).

Точка X*, в которой все частные производные функции равны 0, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума.Если в точке X* функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке раны нулю:

.

Следовательно, точки экстремума функции удовле­творяют системе уравнений:

(7.5)

Как и в случае одной переменной, необходимое условие не яв­ляется достаточным для того, чтобы стационарная точка была точ­кой экстремума. Для получения достаточных условий следует опре­делить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциал второго порядка обозначается и равен сумме произведений частных производных второго порядка на соответствующие приращения аргументов.