Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Примеры решения задач. Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвёртого энергетического уровня на второй

Читайте также:
  1. A) принятие решения о финансировании одного из них не влияет на принятие решения о финансировании другого;
  2. Gt; во-вторых, когнитивной оценкой (cognitive appraisal), которую человек дает событию, требующему разрешения.
  3. Hешаем задачу
  4. I. Задачи настоящей работы
  5. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  6. I. Цели и задачи проекта
  7. II. Объем и сроки выполнения задач в рамках проекта
  8. II. Основные цели и задачи Программы, срок и этапы ее реализации, целевые индикаторы и показатели
  9. II. Примеры проективных методик
  10. II. Решение логических задач табличным способом

Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвёртого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой Бальмера для водородоподобных ионов:

. (1)

где l - длина волны фотона; R - постоянная Ридберга; Z - заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 - номер орбиты, с которой перешел электрон; n2 - номер орбиты, на которую перешел электрон ( n1 и n2 - главные квантовые числа).

Энергия фотона e выражается формулой

e = h×c/l

Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:

.

Так как Rhc есть энергия ионизации Ei атома водорода, то

.

Вычисления выполним во внесистемных единицах:

Ei = 13,6 эВ. Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:

e = 13,6×12(1/22 - 1/42) эВ = 13,6×3/16 = 2,55 эВ.

 

Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса p и определяется формулой

lБ = h/p, (1)

где h - постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

,

где mo - масса покоя электрона.

В релятивистском случае

. (3)

где Eo = moc2 - энергия покоя электрона.

 

Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае

, (4)

в релятивистском случае

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Электрическое поле совершает над электроном работу, которая равна изменению его кинетической энергии T:



T = e×U

В первом случае T1 = e×U = 51 эВ = 0,51×10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Eo = moc2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что T1 = =10-4moc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде

.

Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны L, получим

l1 = 102 .

Так как L = 2,43 пм, то

l1 = 102×2,43/ = 171 (пм).

Во втором случае кинетическая энергия T2 = eU2 = 510 кэВ = 0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Так как T2 = moc2, то по формуле (5) находим

.

Подставим значение L и произведём вычисления:

Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределённостей для координаты и импульса имеет вид

Dx×Dpx ³ ћ, (1)

где Dx - неопределённость координаты x электрона; Dpx - неопределённость проекции импульса электрона на ось X; ħ - постоянная Планка, делённая на 2p.



Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится соответствующая проекция импульса, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью

Dx = l/2.

Соотношение неопределённостей (1) можно записать в том случае в виде

(l/2)Dpx ³ ħ,

откуда

l ³ 2ħ/Dpx. (2)

Физически разумная неопределённость импульса Dpx во всяком случае не должна превышать значения самого импульса px, то есть Dpx £ px. Импульс px связан с кинетической энергией T соотношением px = (2mT)1/2. Переходя от неравенства к равенству, получим

. (3)

Произведём вычисления:

lmin = 2×1,05×10-34/(2×9,1×10-31×1,6×10-19×10)1/2 = 124 нм.

 

Пример 4. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Dl = 0,01l в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 < x < l);

2) в средней части ящика ((l - Dl)/2 ≤ x ≤(l + Dl)/2).

Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

dw = êy(x)ê2×dx.

В первом случае искомая вероятность найдётся интегрированием в пределах от 0 до 0,01l:

.

Так как x изменяется в интервале 0 ≤x ≤0,01l и, следовательно, px/l <l, справедливо приближённое равенство

sin2(px/l) » (px/l)2.

С учётом этого выражение (1) примет вид

.

После интегрирования получим

w = .

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи её максимума в заданном малом интервале (Dl = =0,01l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

w = 2×(sin2(pl/2l)×Dl/l = 2×0,01l/l = 0,02.

 

Пример 5. Найти заряд ядра атомов вещества, для которых Ka-линия в характеристическом рентгеновском спектре имеет длину волны l=193,5 пм.

Решение. По закону Мозли , где Z - зарядовое число ядра атома, R = 2,067×1016 с-1 Отсюда выразим Z

, w=2pn= , откуда

 

Ответ: Q=+26e.

Пример 6. На медную фольгу, у которой n×d = 1,5×10-2 кг/м2, падает перпендикулярно узкий пучок a - частиц, энергия которых 5,29 МэВ. На угол q > 6° рассеивается больше 1% всех a-частиц. Определить число протонов Z в ядре меди.

Решение. Рассеяние a-частиц на ядрах атомов описывается формулой Резерфорда:

По условию задачи a частицы рассеиваются в пределах углов 6°<q <180°, поэтому число рассеянных a-частиц можно определить интегрированием:

т.е. (1)

По условию задачи DN/N ³ 0,01. Выполнив в (1) некоторые преобразования, получим

. (2)

Для определения Z необходимо найти nd - число ядер фольги на единицу ее поверхности. В условии задачи дается rd, поэтому nd находим по формуле:

,

где m = 0,064 кг/моль, NА - число Авогадро.

Количество протонов в ядре меди найдём из уравнения (2):

, 4pctg230=4573


Ответ: Z = 29.

 

Пример 7. Узкий пучок протонов с кинетической энергией Т = 100 кэВ падает перпендикулярно на золотую фольгу, для которой rd = 102 кг/м2. Протоны под углом q=60° регистрирует счетчик с круглым отверстием S=1 см2, которое расположено на расстоянии R = 10 см от участка фольги, рассеивающей протоны. Отверстие счетчика расположено перпендикулярно к направлению падающих на него протонов. Доля рассеянных протонов, падающих на отверстие счетчика, составляет DN/N = 4×10-4. Определить массовое число ядра атома золота.

Решение. Для нахождения массового числа А примем, что Мат » А×mN.и воспользуемся формулой :

. (1)

В условии задачи задана площадь S, на которую под углом q в пределах Dq падают частицы. Поскольку площадка и количество частиц DN имеют определенные значения, уравнение (1) необходимо записать в интегральной форме:

. (2)

Учитывая малые изменения углов q и j интеграл в выражении (2) запишем в следующем виде:

 

(3)

где q - среднее значение угла q.

Используя приближение (3), определим А:

. (4)

Ответ: А = 194.

Пример 8. Вычислить сечение ядра атома золота, которое соответствует рассеянию протонов с кинетической энергией Т = МэВ в пределах углов q от 60° до 180°.

 

Решение. Рассеяние частиц ядром в пределах углов от q до q + dq определяется площадью ds эффективного сечения ядра в виде кольца (рис.1.1):

ds = 2pbdb . (1)

Прицельное расстояние b найдем из формулы:

, (2)

где q1 - заряд протона, q2 - заряд ядра золота. Дифференциал от b равен:

; (3)

Подставив выражение (2) и (3) в (1), получим:

; (4)

Сечение ядра, на котором рассеиваются частицы в пределах углов от q1 до q2:

. (5)

Подставим выражение (4) в интеграл (5):

. (6)

После интегрирования получим:

 

,

где q1=+e, q2=78e.

: Ds= 2,1-10-26 м2.

Пример 9. Атомное ядро, поглотив g - фотон (l = 0,47 пм), возбудилось, после чего распалось на отдельные нуклоны, которые разлетелись в разных направлениях. Суммарная кинетическая энергия нуклонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи Есв ядра.

Решение. На основании закона сохранения энергии имеем:

Мя + hn = Zmp + (А - Z)mn + Т,

где Т - кинетическая энергия нуклонов. Энергия связи:

Eсв = Z×mp + (A-Z)mn – Mя = hn - T.

Eсв=hn - T = hc/l - T.

Произведём вычисления

Ответ: Есв = 2,2 МэВ.

 

Пример 10. Рассчитать с помощью формулы Вейцзеккера энергию связи Са40.

Решение. Полуэмпирическая формула Вейцзеккера позволяет найти энергию связи ядра по его значениям А и Z:

Eсв=14A - 13A2/3 - 0,584Z2/A1/3 - 19,3 .

Для ядра Ca40 d = -1.

Eсв = 14×40 - 13×402/3 - 0,58×202/402/3 – 19,3(40-40)/20 - 33,5×(-1)/403/4 = 342 МэВ.

Ответ: Е. = 342 МэВ.

 

Пример 11. а) Определить с помощью формулы Вейцзеккера заряд Z ядра, которое имеет наименьшую массу среди ядер с одинаковым нечетным значением массового числа А.

б)Определить с помощью полученной формулы характер активности следующих b активных ядер: Ag103 и Sn127.

 

Решение. а) Воспользовавшись формулой Вейцзеккера, выразим массу ядра как функцию А и Z:

Mя = Z×mp + (A-Z)mn – 14A + 13A2/3 0,584×Z2/A1/3 +19,3× .

При заданном А масса ядра является функцией Z, т.е. Мя = f(Z) (рис.1.2). Чтобы найти Zmin, найдём производную dM/dZ и приравняем её к нулю:

 

 

dM(Z)/dZ = 0.

 

Функция М(Z) имеет один минимум.

Решив уравнение dM(Z)/dZ = 0 относительно Z, получим ответ на вопрос задачи:

dM/dZ=mp-mn + 2Z×0,584/A1/3 +19,3× = 0.

mp-mn=1,007276-1,008665=1,3 МэВ, 78,5=Z(154,4/A+1,17A-1/3).

Zmin=78,5A/154,4+1,17A2/3=A/1,98+0,015A2/3.

б) Определим Zmin для А = 103, .

Но Z может быть только целым числом, поэтому принимаем Zmin = 45. Радиоактивность Аg103 будет направлена на уменьшение Z, поэтому распад ядра идет по схеме:

.

Находим Zmin для А = 127:

Zmin=54.

Распад ядра ведет к увеличению Z. Из этого следует, что оно обладает электронной активностью:

.

Ответ: Zmin = А/(1,98 + 0,015 А2/3).

Пример 12. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся на очень больших расстояниях друг от друга ) протонов и нейтронов, из которых состоит ядро. Дефект массы ядра Dm равен разности между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра, т.е.

Dm = Zmp + (A - Z)mn - mя, (1)

где Z - порядковый номер (число протонов в ядре); mp, mn, mя - соответственно массы протона , нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, а не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в неё входила масса ma нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку ядра: ma = mя + Zme, откуда

mя = ma - me. (2)

Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем

Dm = Z(mp + me) + (A - Z)mn - ma.

Замечая, что mp+me=mH, где mH- масса атома водорода, находим

Dm = ZmH + (A - Z)mn - ma. (3)

Подставив в выражение (3) числовые значения масс, взятые из справочной таблицы, получим

Dm = [3×1,00783 + (7 - 3)×1,00867 - 7×0,1601] = 0,04216 (а.е.м.)

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

E = Dm×c2, (4)

где c - скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности c2 можно выразить через массу и энергию: c2 = E/Dm = 9×1016 Дж/кг.

Если вычислять энергию связи, используя внесистемные единицы, то c2 = 931,44 МэВ/а.е.м. С учётом этого формула (4) примет вид

E = 93,44×Dm (МэВ). (5)

Подставив значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

E = 931,44×0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Пример 13. Вычислить толщину слоя половинного ослабления X1/2 параллельного пучка g - излучения для воды, если линейный коэффициент ослабления m = 0,047 см-1.

Решение. Интенсивность g - излучения в зависимости от толщины слоя убывает по закону:

I = Ioexp(-mx). (1)

Пройдя поглощающий слой половинного ослабления пучок будет иметь интенсивность I = Io/2. Подставив значения I и x в формулу (1), получим Io/2 = Ioexp(-m×x1/2), или после сокращения:

1/2 = exp(-mX1/2). (2)

Прологарифмировав последнее выражение, получим искомое значение толщины слоя половинного ослабления:

X1/2 = ln(2)/m. (3)

Произведём вычисления

X1/2 = ln(2)/4,7 = 14,7 см.

Пример 14. Кремниевый образец нагревают от температуры t1 = 0oC до температуры t2 = 10oC. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость?

Решение. Удельная проводимость g собственных полупроводников связана с температурой T соотношением

g = g0×exp(-DE/(2kT)),

где g0 - константа; DE - ширина запрещённой зоны. Следовательно,

.

Полагая для кремния DE = 1,1 эВ, произведём вычисления:

.


Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 66; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Атомное ядро. Радиоактивность | КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 6
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.032 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты