![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
МЕХАНИКАосновные формулы КИНЕМАТИКА
• Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором где
где t — время. • Средняя скорость:
где • Средняя путевая скорость:
где • Мгновенная скорость: где Модуль скорости:
• Ускорение:
где: Модуль ускорения: При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной
Модули этих ускорений:
где R — радиус кривизны в данной точке траектории. • Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х:
где • Кинематическое уравнение равнопеременного движения (
где v0 ‑ начальная скорость; t ‑ время. Скорость точки при равнопеременном движении: • Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) Кинематическое уравнение вращательного движения:
• Средняя угловая скорость:
где
• Угловое ускорение:
• Кинематическое уравнение равномерного вращения:
где Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения. • Частота вращения: где N — число оборотов, совершаемых телом за время t; Т — период вращения (время одного полного оборота). • Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (
где Угловая скорость тела при равнопеременном вращении
• Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами: путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R, скорость точки линейная
ускорение точки: тангенциальное
нормальное
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО
• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона): в векторной форме:
где в координатной форме (скалярной):
или
где под знаком суммы стоят проекции сил
где G — гравитационная постоянная; m1 и m2 — массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r — расстояние между ними.
где • Сила упругости:
где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); • Координаты центра масс системы материальных точек:
где mi — масса i-й материальной точки; xi, yi;, zi; — ее координаты. • Закон сохранения импульса:
где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему. • Работа, совершаемая постоянной силой:
где • Работа, совершаемая переменной силой: где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L. • Средняя мощность за интервал времени
• Мгновенная мощность: где • Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:
• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением
где
• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)
• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1, и т2, находящихся на расстоянии r друг от друга:
• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии • Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде:
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ • Момент силы
где ![]() ![]() ![]() • Момент инерции относительно оси вращения: а) материальной точки где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения; б) дискретного твердого тела
где в) сплошного твердого тела Если тело однородно, т. е. его плотность где V — объем тела. • Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси: где J0 — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела. • Момент импульса вращающегося тела относительно оси: • Закон сохранения момента импульса:
где Li — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел: где Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется:
где • Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:
где J — момент инерции тела; В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид
где • Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело: A=Mj , где j — угол поворота тела. • Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела, • Кинетическая энергия вращающегося тела • Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:
где РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня: где l0 — длина стержня в системе координат К',относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l — длина стержня, измеренная в системе К,относительно которой он движется со скоростью • Релятивистское замедление хода часов
где Δt0 — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы • Релятивистское сложение скоростей
где В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную. • Релятивистский импульс:
• Полная энергия релятивистской частицы
где T — кинетическая энергия частицы; • Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:
• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ • Уравнение гармонических колебаний: где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; • Угловая частота колебаний:
где ν и Т — частота и период колебаний. • Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
• Ускорение при гармоническом колебании
• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле: где А1и А2— амплитуды составляющих колебаний; φ1 и φ2— их начальные фазы. • Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы:
• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν1 и ν2,
• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и A2 и начальными фазами φ1 и φ2:
• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:
где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы ( • Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:
• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник):
где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела). Период колебаний математического маятника
где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника
где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити:
где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; K — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается. • Дифференциальное уравнение затухающих колебаний где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания: • Уравнение затухающих колебаний: где A(t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота. • Угловая частота затухающих колебаний:
• Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
где А0 — амплитуда колебаний в момент t=0. • Логарифмический декремент колебаний:
где A(t) и A(t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период. • Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
где • Амплитуда вынужденных колебаний:
• Резонансная частота и резонансная амплитуда:
|