Примеры решения задач 2 страница

3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения:

Пример 10. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v₁, столкнулся с неподвижным шаром массой т₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением:

(1)

где — кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и ,— скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из выражения (1), для определения надо найти u₂. Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии.

По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем . По закону сохранения энергии в механике, Решая совместно два последних уравнения, найдем:

u₂=2m₁v₁/(m₁+m₂).

Подставив это выражение u₂ в равенство (1), получим:

Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.

Пример 11. Боек (ударная часть) свайного молота массой т₁=500 кг падает на сваю массой m₂=100 кг со скоростью v₁=4 м/с. Определить: 1) кинетическую энергию бойка в момент удара; 2) энергию , затраченную на углубление сваи в грунт; 3) кинетическую энергию , перешедшую во внутреннюю энергию системы; 4) КПД удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.

Решение. 1. Кинетическую энергию бойка в момент удара о сваю находим по формуле =m₁v₁²/2. Подставив значения m₁, и v₁ и произведя вычисления, получим:

=(500×4²)/2 Дж=4000 Дж=4 кДж.

2. Чтобы определить энергию, затраченную на углубление сваи, предварительно найдем скорость системы боек — свая непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара выражается формулой:

т₁v₁+m₂v₂=(m₁+m₂)u, (1)

где v₂ — скорость сваи перед ударом; и — скорость бойка и сваи непосредственно после удара. Свая перед ударом находилась в состоянии покоя, поэтому v₂=0. Так как удар неупругий, то боек и свая после удара движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (1) найдем эту скорость:

(2)

В результате сопротивления грунта скорость бойка и сваи после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система боек — свая, затрачивается на углубление сваи в грунт.

Эту энергию находим по формуле Заменим скорость и ее выражением (2): или, учитывая, что =m₁v₁²/2, запишем:

(3)

Подставив в формулу (3) значения т₁, m₂ и и произведя вычисления, получим:

= [500/(500+100)]. 4·10³ Дж=3,33·10³ Дж=3,33 кДж.

3. Боек до удара обладал энергией ; — энергия, затраченная на углубление сваи в грунт. Следовательно, во внутреннюю энергию, связанную с неупругой деформацией сваи, превратилась энергия:

= — .

Подставив в это выражение значения T₁ и T₂, найдем

=0,67 кДж.

4. Свайный молот служит для забивки сваи в грунт; следовательно, энергию следует считать полезной. КПД удара бойка о сваю выразится как отношение энергии , затраченной на углубление сваи в грунт, ко всей затраченной энергии :

= / .

Подставив в последнее выражение по формуле (3), получим

=m₁/(m₁+m₂).

Подставим значения m₁ и т₂и произведем вычисления:

=83,3%.

Пример 12. Вычислить момент инерции J_z молекулы NО₂ относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол =140°.

Решение. Молекулу NO₂ можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой

m=2m₁+m₂, (1)

где m₁ — масса атома кислорода; m₂ — масса атома азота.

Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 8 (начало координат совместим с центром масс С молекулы, ось z направим перпендикулярно плоскости чертежа «к нам».)

Для определения J_z воспользуемся теоремой Штейнера:

J=J_c+ma².

Для данного случая эта теорема запишется в виде J_z' = J_z+ma², где J_z' —момент инерции относительно оси z', параллельной оси z и проходящей через атом азота (точка О на рис. 8). Отсюда искомый момент инерции

J_z = J_z' –ma² (2)

Момент инерции J_z' находим как сумму моментов инерции двух материальных точек (атомов кислорода):

J_z' = 2m₁ d² (3)

Расстояние а между осями z и z' равно координате x_с центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле:

.

В данном случае:

а=х_с= (2m₁x₁+m₂x₂)/(2m₁+m₂),

или, учитывая, что x₁=d cos ( /2) и х₂=0,

(4)

Подставив в формулу (2) значения J_z', т, а соответственно из выражений (3), (1), (4), получим:

или после преобразований:

(5)

Относительные атомные массы кислорода (A_O=16) и азота (А_N=14). Запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах (1 а.е.м. =1,66 ·10^-27 кг):

m₁= 161,66·10^-27 кг=2,66·10^-26 кг;

m₂ = 141,66·10^-27 кг = 2,32·10^-26 кг.

Значения m₁, т₂, d и подставим в формулу (5) и произведем вычисления:

J_z=6,80·10^-46 кг·м².

Пример 13. Физический маятник представляет собой стержень длиной l =1 м и массой m₁=l кг с прикрепленным к одному из его концов диском массой т₂=0,5 m₁. Определить момент инерции J_zтакого маятника относительно оси Оz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 9).

Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J_z1 и диска J_z2.

J_z ⁼ J_z1 + J_z2 (1)

Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня J_z1 и диска J_z2 относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. на с. 13. Чтобы определить моменты инерции J_z1 и J_z2, надо воспользоваться теоремой Штейнера:

J=J_c+ma². (2)

Выразим момент инерции стержня согласно формуле (2):

J_z1=^l/₁₂m₁l²+m₁a₁².

Расстояние a₁ между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс C₁ стержня, как следует из рис. 9, равно ¹/₂l ‑ ^l/₃l=^l/₆l. С учетом этого запишем:

J_z1=^l/₁₂m₁l²+m₁ (^l/₆l )²=¹/₉m₁l²=0,111m₁l².

Момент инерции диска в соответствии с формулой (2) равен:

J_z2=^l/₂m₂R²+m₂a₂².

где R — радиус диска; R=¹/₄l. Расстояние а₂ между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 9) ²/₃l + ^l/₄l=^l1/₁₂l. С учетом этого запишем:

J_z2=^l/₂m₂ (¹/₄l)²+m₂(^l1/₁₂l)²= 0,0312 m₂l² + 0,840 m₂l²= 0,871 m₂l².

Подставив полученные выражения J_z1 и J_z2 в формулу (1), найдем

J_z=0,111m₁l²+0,871 m₂l²=(0,111m₁+0,871 m₂)l²,

или, учитывая, что т₂=0,5 m₁,

J_z=0,547m₁l².

Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси Оz:

J_z =0,547·1·1 кг·м²=0,547 кг·м².

Пример 14. Вал в виде сплошного цилиндра массой m₁=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m₂=2 кг (рис. 10). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности,

и связано с угловым ускорением вала соотношением:

, (1)

где r — радиус вала.

Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

, (2)

где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен

J=¹/₂m₁r².

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести , направленная вниз, и сила натяжения шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона, m₂g – T=m₂a, откуда T=m₂(g – а). Таким образом, вращающий момент M=m₂(g—а)r.

Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:

Для определения линейного ускорения гири подставим это выражение в формулу (1). Получим

,

откуда

.

Пример 15. Через блок в виде диска, имеющий массу m=80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁=100 г и m₂=200 г (рис. 11). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести , направленная вниз, и сила натяжения нити, направленная вверх.

Так как вектор ускорения груза m₁ направлен вверх, то T₁>m₁g. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и, по второму закону Ньютона, равна T₁ – т₁g=т₁а, откуда:

T₁=m₁g+m₁a. (1)

Вектор ускорения груза т₂ направлен вниз; следовательно, T₂<m₂g. Запишем формулу второго закона для этого груза:

m₂g – T₂=m₂a, откуда

T₂=m₂g – m₂а. (2)

Согласно основному закону динамики вращательного движения, вращающий момент М, приложенный к диску,равен произведению момента инерции J диска на его угловое ускорение :

M=J . (3)

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы и , приложенные к ободу диска, равны соответственно силам T₁ и Т₂, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, > . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. M=( – )r. Момент инерции диска J=mr²/2, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением . Подставив в формулу (3) выражения М, J и , получим

( – )r =

откуда

– =(т/2)а.

Так как =T₁ и =Т₂, то можно заменить силы и вы­ражениями по формулам (1) и (2), тогда:

m₂g – m₂a – m₁g – m₁a=(m/2)a, или(m₂—m₁) g=(m₂+m₁+m/2)a

откуда:

(4)

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс m₁, m₂ и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки получим:

Пример 16. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом r =20 см был раскручен до частоты вращения ₁=480 мин^-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t=50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N=200 оборотов.

Решение. 1.По второму закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:

M t=J — J ,

где J — момент инерции маховика; и — начальная и конечная угловые скорости. Так как =0 и t=t , то Mt= – J , откуда:

M= – J /t. (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J=¹/₂mr². Подставив это выражение в формулу (1), найдем

M= – mr² /(2t). (2)

Выразив угловую скорость через частоту вращения ₁ и произведя вычисления по формуле (2), найдем:

М= – 1 Н·м.

2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных махови­ком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому приме­ним формулу, выражающую связь работы с изменением кинетиче­ской энергии:

или, учтя, что ,

(3)

Работа при вращательном движении определяется по формуле A=Mj. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим:

M = – mr² /4.

Отсюда момент силы трения:

М= – mr² /4 . (4)

Угол поворота j=2 N=2·3,14·200 рад=1256 рад. Произведя вычисления по формуле (4), получим:

М= – 1 Н·м.

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Пример 17. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m₁=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с часто­той =10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой т₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. По закону сохранения момента импульса,

(1)

где J₁ — момент инерции платформы; J₂ — момент инерции человека, стоящего в центре платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J₂' — момент инерции человека, стоящего на краю платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:

. (2)

Определив из уравнения (1) и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь:

v=(J₁+J₂) R/(J₁+J'₂). (3)

Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, J₁=¹1₂m₁R². Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J₂=0, J'₂=m₂R². Угловая скорость платформы до перехода человека равна .

Заменив в формуле (3) величины J₁, J₂, J'₂. и их выражениями, получим:

Сделав подстановку значений т₁, т₂, , R и , найдем линейную скорость человека: