![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры решения задач 2 страница3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения:
Пример 10. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой т2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением:
где Как видно из выражения (1), для определения По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем u2=2m1v1/(m1+m2). Подставив это выражение u2 в равенство (1), получим: Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.
Пример 11. Боек (ударная часть) свайного молота массой т1=500 кг падает на сваю массой m2=100 кг со скоростью v1=4 м/с. Определить: 1) кинетическую энергию Решение. 1. Кинетическую энергию бойка в момент удара о сваю находим по формуле
2. Чтобы определить энергию, затраченную на углубление сваи, предварительно найдем скорость системы боек — свая непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара выражается формулой: т1v1+m2v2=(m1+m2)u, (1) где v2 — скорость сваи перед ударом; и — скорость бойка и сваи непосредственно после удара. Свая перед ударом находилась в состоянии покоя, поэтому v2=0. Так как удар неупругий, то боек и свая после удара движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (1) найдем эту скорость:
В результате сопротивления грунта скорость бойка и сваи после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система боек — свая, затрачивается на углубление сваи в грунт. Эту энергию находим по формуле
Подставив в формулу (3) значения т1, m2 и
3. Боек до удара обладал энергией
Подставив в это выражение значения T1 и T2, найдем
4. Свайный молот служит для забивки сваи в грунт; следовательно, энергию
Подставив в последнее выражение
Подставим значения m1 и т2и произведем вычисления:
Пример 12. Вычислить момент инерции Jz молекулы NО2 относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол Решение. Молекулу NO2 можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой m=2m1+m2, (1) где m1 — масса атома кислорода; m2 — масса атома азота. Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 8 (начало координат совместим с центром масс С молекулы, ось z направим перпендикулярно плоскости чертежа «к нам».) Для определения Jz воспользуемся теоремой Штейнера: J=Jc+ma2.
Jz = Jz' –ma2 (2)
Jz' = 2m1 d2 (3) Расстояние а между осями z и z' равно координате xс центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле:
В данном случае: а=хс= (2m1x1+m2x2)/(2m1+m2), или, учитывая, что x1=d cos (
Подставив в формулу (2) значения Jz', т, а соответственно из выражений (3), (1), (4), получим: или после преобразований:
Относительные атомные массы кислорода (AO=16) и азота (АN=14). Запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах (1 а.е.м. =1,66 ·10-27 кг): m1= 161,66·10-27 кг=2,66·10-26 кг; m2 = 141,66·10-27 кг = 2,32·10-26 кг. Значения m1, т2, d и Jz=6,80·10-46 кг·м2.
Пример 13. Физический маятник представляет собой стержень длиной l =1 м и массой m1=l кг с прикрепленным к одному из его концов диском массой т2=0,5 m1. Определить момент инерции Jzтакого маятника относительно оси Оz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 9).
Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня Jz1 и диска Jz2. Jz = Jz1 + Jz2 (1) Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня Jz1 и диска Jz2 относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. на с. 13. Чтобы определить моменты инерции Jz1 и Jz2, надо воспользоваться теоремой Штейнера: J=Jc+ma2. (2)
Jz1=l/12m1l2+m1a12. Расстояние a1 между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс C1 стержня, как следует из рис. 9, равно 1/2l ‑ l/3l=l/6l. С учетом этого запишем: Jz1=l/12m1l2+m1 (l/6l )2=1/9m1l2=0,111m1l2. Момент инерции диска в соответствии с формулой (2) равен: Jz2=l/2m2R2+m2a22. где R — радиус диска; R=1/4l. Расстояние а2 между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 9) 2/3l + l/4l=l1/12l. С учетом этого запишем: Jz2=l/2m2 (1/4l)2+m2(l1/12l)2= 0,0312 m2l2 + 0,840 m2l2= 0,871 m2l2. Подставив полученные выражения Jz1 и Jz2 в формулу (1), найдем Jz=0,111m1l2+0,871 m2l2=(0,111m1+0,871 m2)l2, или, учитывая, что т2=0,5 m1, Jz=0,547m1l2. Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси Оz: Jz =0,547·1·1 кг·м2=0,547 кг·м2.
Пример 14. Вал в виде сплошного цилиндра массой m1=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m2=2 кг (рис. 10). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе? Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением где r — радиус вала. Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:
где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен J=1/2m1r2. Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.
Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала: Для определения линейного ускорения гири подставим это выражение
откуда
Пример 15. Через блок в виде диска, имеющий массу m=80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m1=100 г и m2=200 г (рис. 11). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь. Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести
T1=m1g+m1a. (1) Вектор ускорения m2g – T2=m2a, откуда T2=m2g – m2а. (2)
M=J Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы ( откуда
Так как m2g – m2a – m1g – m1a=(m/2)a, или(m2—m1) g=(m2+m1+m/2)a откуда:
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс m1, m2 и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки получим:
Пример 16. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом r =20 см был раскручен до частоты вращения Решение. 1.По второму закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента: M где J — момент инерции маховика; M= – J Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J=1/2mr2. Подставив это выражение в формулу (1), найдем M= – mr2 Выразив угловую скорость М= – 1 Н·м. 2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии: или, учтя, что
Работа при вращательном движении определяется по формуле A=Mj. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим: M Отсюда момент силы трения: М= – mr2 Угол поворота j=2 М= – 1 Н·м. Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.
Пример 17. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой Решение. По закону сохранения момента импульса,
где J1 — момент инерции платформы; J2 — момент инерции человека, стоящего в центре платформы; Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:
Определив v=(J1+J2) Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, J1=112m1R2. Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J2=0, J'2=m2R2. Угловая скорость платформы до перехода человека равна Заменив в формуле (3) величины J1, J2, J'2. и Сделав подстановку значений т1, т2,
|