Примеры решения задач 3 страница

Пример 18. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения ₁=0,5 c^-1. Момент инерции j_o тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг·м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m=2 кг каждая. Расстояние между гирями l₁=l,6 м. Опре­делить частоту вращения ₂, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l₂ между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (рис. 12), составляет вместе со скамьей замкнутую механическую систему, поэтому момент импульса J этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для данного случая

J₁ = J₂ ,

где J и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J₂ и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опу­щенными руками. Отсюда:

= (J₁/J₂) .

Выразив в этом уравнении угловые скорости и через частоты вращения ₁ и ₂ ( =2 ) и сократив на 2 , получим:

₂=(J₁/J₂) ₁. (1)

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J₀ и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки: J=mr². Следовательно,

J₁=J₀+2m(l₁/2)²;

где т — масса каждой из гирь; l₁ и l₂. — первоначальное и конечное расстояние между гирями. Подставив выражения J₁ и J₂ в уравнение (1), получим:

. (2)

Выполнив вычисления по формуле (2), найдем

₂=1,18 с^-1.

Пример 19. Стержень длиной l=1,5 м и массой М=10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верх­ний конец стержня (рис. 13). В середину стержня ударяет пуля массой m=10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v_o=500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с угловой скоростью и сообщает ему кинетическую энергию

(1)

где — момент инерции стержня относительно оси вращения.

Затем стержень поворачивается на искомый угол , причем центр масс его поднимается на высоту . В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией

(2)

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

Отсюда

.

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня , получим

(3)

Чтобы из выражения (3) найти , необходимо предварительно определить значение . В момент удара на пулю и на стержень действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса. В начальный момент удара угловая скорость стержня , поэтому его момент импульса . Пуля коснулась стержня и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент импульса пули , где — расстояние точки попадания от оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость , а пуля — линейную скорость , равную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии от оси вращения. Так как , то конечный момент импульса пули .

Применив закон сохранения импульса, можем написать:

, или ,

откуда:

, (4)

где — момент инерции стержня.

Если учесть, что в (4) , а также что , то после несложных преобразований получим:

(5)

Подставив числовые значения величин в (5), найдем

рад = 0,5 рад.

По (3) получим:

Следовательно, =9°20'

Пример 20. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля массой m = 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была сжата перед выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Система пуля — Земля (вместе с пистолетом) яв­ляется замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, полная механическая энергия системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

= , или , (1)

где и — кинетические энергии системы в начальном и конечном состояниях; и — потенциальные энергии в тех же состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

= . (2)

Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее поверхность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е.

, а в конечном состоянии — потенциальной энергий пули на высоте , т. е. .

Подставив приведенные выражения и в формулу (2), найдем

; .

Произведя вычисления по последней формуле, получим h=5 м.

Пример 21. Точка совершает колебания по закону , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x(0)= см и (0)<0. Построить векторную диаграмму для момента t=0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t=0 через начальную фазу:

.

Отсюда найдем начальную фазу:

.

Подставим в это выражение заданные значения x(0) и А: . Значению аргумента удовлетворяют два значения угла:

и .

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлетворяет еще и условию , найдем сначала :

.

Подставив в это выражение значение t=0 и поочередно значения начальных фаз и , найдем:

; .

Так как всегда A>0 и ω>0, то условию удовлетворяет только первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза .

По найденному значению φ построим векторную диаграмму (рис. 14).

Пример 22. Материальная точка массой m=5 г совершает гармонические колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A=3 см. Определить: 1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х= 1,5 см; 2) максимальную силу F_max, действующую на точку; 3) полную энергию колеблющейся точки.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

, (1)

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

(2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на , второе на и сложим:

или .

Решив последнее уравнение относительно , найдем

.

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

см/с.

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением:

.

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

(3)

где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

, или

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим:

.

Отсюда максимальное значение силы:

.

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, m и A, найдем:

мН.

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии _max:

(4)

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив ; . Подставив выражение скорости в формулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим

Дж = 22,1·10^-6Дж или =22,1 мкДж.

Пример 23. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m₃=400 г укреплены шарики малых размеров массами m₁=200 г и m₂=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 15). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

(1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; l_С — расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J₁ и J₂ и стержня J₃:

(2)

Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции: ; .

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси . Подставив полученные выражения J₁ , J₂ и J₃ в формулу (2), найдем общий момент инерции физического маятника:

.

Произведя вычисления по этой формуле, найдем кг·м².

Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

=0,9 кг.

Расстояние l_С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

.

Подставив значения величин m₁, m₂, m, l и произведя вычисления, найдем:

см.

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

с = 11,2 с.

Пример 24.Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями ; , где А₁=1см, A₂=2 см, с, с, ω = с^-1. 1. Определить начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

, (2)

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 16. Согласно теореме косинусов, получим

, (3)

где — разность фаз составляющих колебаний. Так как , то, подставляя найденные значения φ₂ и φ₁ получим рад.

Подставим значения А₁ , А₂и в формулу (3) и произведем вычисления:

A=2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания определим непосредственно из рис. 16: , откуда начальная фаза

.

Подставим значения А₁, А₂, φ₁, φ₂ и произведем вычисления:

рад.

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде , где A=2,65 см, ω = с^-1, рад.

Пример 25.Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

, (1)

, (2)

где А₁=1 см, A₂=2 см, ω = с^-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого воспользуемся формулой . В данном случае , поэтому

Так как согласно формуле (1) , то уравнение траектории

(3)

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от – 1 до +1 см по оси Ох и от – 2 до +2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2) (рис. 17).

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент t=0 координаты точки равны x(0)=1 см и y(0)=2 см. В последующий момент времени, например при t₁=l с, координаты точек изменятся и станут равными х(1)= – 1 см, y(1)=0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 17 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в момент t₂ = 2 с колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.