Интеграл вероятностей

Интегральная функция нормального распределения результатов измерения F (X) или ошибок F(Δx) в новых переменных будет иметь один и тот же вид:

(26)

Вероятность того, что возможный результат измерения Х окажется внутри заданного интервала (Х₁, Х₂) согласно (26) может быть вычислен по уравнению:

где

В частности, для симметричного относительно истинного значения Х₀ интервала ( ) получим:

(27)

Здесь учитывается, что функция является нечетной.

Функция (28)

называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей (табл.1).

Таблица 1

Функция Лапласа

Интеграл вероятностей (28) по уравнению (27) позволяет вычислять вероятность нахождения результата измерения Х или его ошибки ΔХ в заданном симметричном относительно центра распределения интервала (-σt, σt ). Для этого нужно величину заданного интервале ( ) или ( ) выразить в долях σ .т.е. найти и по табл1 определить искомую вероятность .

Решается и обратная задача. Для заданной вероятности δ (по табл.1) определяют t и по известному σ находят искомый интервал ( ).

Найдем значения вероятностей δ для интервалов ( ) при t= I. 2. 3 :

Из последнего равенства следует, что 99,73% всех результатов измерений находятся в пределах интервала

( ) и лишь 0,27% - за его пределами.

На рис.4 искомые вероятности δ изображены заштрихованными площадями под кривыми Гаусса f(t). Вся площадь код кривой равна единице (на рис. 4а

-t=1, δ=0,68; 4б –t=2, δ=0,95; 4в –t=3, δ=0,997).

Те результаты измерений, ошибки которых вышли за пределы ± 3 σ , имеют очень малую вероятность и такие измерения практически невозможны ("правило трех сигм"). При большом числе отсчетов “правило трех сигм” применяют для выявления грубых ошибок - промахов.