Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Теорема о разложении функции по переменным




Читайте также:
  1. Foreign Office – структура, функции…..
  2. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  3. II. (Теорема Больцано-Вейерштрасса).
  4. III. Вегетативные функции НС.
  5. III. Функции полномочного представителя
  6. SQL-функции
  7. Автоматизированное рабочее место. Его состав, функции, аппаратное и программное обеспечение.
  8. Анатомия ствола головного мозга (структуры и функции).
  9. Анатомия, гистология, функции наружной оболочки глаза.
  10. Аритмии, обусловленные нарушением функции проводимости

 


Пусть f(x1, ..., xn) Î P2. Тогда для любого m: 1 ≤ m ≤ n допустимо представление:

f(x1, ..., xm, xm+1, ..., xn) = ,

где дизъюнкция берется по всем наборам из 0 и 1, которое называется разложением функции f по переменным x1, ..., xn.

Прежде чем доказать утверждение, рассмотрим примеры.

Пример 1. m = 1, запишем разложение по переменным х:

f(x1, ..., xn) = = f(0, x2 , …,xnx1f(1, x2, ..., xn). (1)

Пример 2.m=2, запишем разложение по переменным х и :

f(x1,x2,…xn) = =

.

Если f(x1, x2) = x1 Å x2, то последняя формула дает x1 Å x2 = x2Ú x1 .

Доказательство. Для доказательства возьмем произвольный набор (a1, ..., a n) и покажем, что левая и правая части формулы (1) принимают на этом наборе одинаковые значения. Слева имеем f(a1, ..., an). Cправа : .

Дизъюнкция берется по всевозможным наборам (s1, ..., sm). Если в этих наборах хотя бы одно si ¹ ai (1≤im), то = 0 и , следовательно, ненулевой член будет только на наборе (s1, ..., sm) = (a1, ..., am), тогда f(a1, ..., an).

Следствие 1. Любую функцию f(x1, ..., xn) не равную тождественно нулю можно представить в виде: , причём единственным образом. Этот вид называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции f(x1, ..., xn) и записывается СДНФ.

Доказательство.Существование СДНФ для функции не равной тождественно нулю вытекает из предыдущей теоремы. Покажем, что эта СДНФ единственная. В самом деле, имеется n-местных функций, не равных нулю тождественно. Подсчитаем число различных СДНФ от n переменных. Путь означает число сочетаний из n элементов по k. Тогда число одночленных СДНФ равно . Число k-членных СДНФ равно . Число n-членных СДНФ равно . Число всех различных СДНФ

Итак, функций реализуются посредством СДНФ, т.е. каждой функции соответствует единственная СДНФ.

Замечание. – элементарная конъюнкция ранга n по числу входящих переменных, предполагается, что при i ¹ j , хi ¹ хj. СДНФ для f(x1, ..., xn) дизъюнкция элементарных конъюнкций ранга n. Если функция представлена в виде дизъюнкций элементарных конъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной конъюнкции меньше n, то такая форма называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).



Cледствие 2. Любая функция алгебры логики может быть представлена в виде формулы через отрицание, & и Ú.

а) Если f ≡ 0, то f(x1, ..., xn) = & .

б) Если f(x1, ..., xn) ¹ 0 тождественно, тогда ее можно представить в виде СДНФ, где используются только связки , &, Ú. СДНФ дает алгоритм представления функции в виде формулы через &, Ú, .

Пример 3. Пусть функция f(x1, x2, x3) задана таблицей истинности. Запишем ее в виде СДНФ. Наборов, на которых функция равна 1, три: (0, 1, 0), (1, 0, 0) и

(1, 1, 1), поэтому f(x1, x2, x3) = x10 & x21 & x30 Úx11 & x20 & x30 Úx11&x21 & x31=

= &x2& Úx1& & Úx1&x2&x3.

x1 x2 x3 f  
               


Следствие 3. Мы умеем представлять функцию в виде . Нельзя ли представить ее в виде . Пусть функция f(x1, ..., xn) ¹ 1 тождественно. Тогда функция f* ¹ 0 тождественно, и ее можно представить в виде СДНФ:



.

По принципу двойственности заменим & на Ú и наоборот, получим

(2)

называется элементарной дизъюнкцией ранга n. Представление функции в виде (2) называется совершенной конъюнктивной нормальной формойили в краткой записи – СКНФ. СКНФ для f(x1, ..., xn) – конъюнкция элементарных дизъюнкций ранга n. КНФ для f(x1, ..., xn) – конъюнкция элементарных дизъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной дизъюнкции меньше n.

Пример 4. Пусть f(x1, x2, x3) = x1 (x2 (x3 ~ x1)). Представим ее в виде СКНФ, для этого получим таблицу истинности.

x1 x2 x3 x3~x1 x2 (x3~x1) f
1 1 1 1 1 1 1

Функция равна нулю только на наборе (1, 1, 0), поэтому

f(x1 x2 x3)=x1 Úx2 Úx3 =x10Úx20Úx31= Ú Ú x3.

 


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 19; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты