Теорема Жегалкина

Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.

Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:

, s = 0, 1, ..., n. Доказательство. Любая функция из Р₂ может быть представлена формулой над {x₁ & x₂, x₁Å x₂, 0, 1}, а эта формула после раскрытия всех скобок и приведения подобных членов дает полином Жегалкина. Докажем единственность представления. Рассмотрим функции f(x₁, ..., x_n) от n переменных. Мы знаем, что всего таких функций, т.е. их таблиц истинности , 2ⁿ. Подсчитаем число различных полиномов Жегалкина от n переменных, т.е. число вариаций вида: . Число наборов равно числу всех подмножеств множества { x₁, ..., x_n }, сюда входит и пустое множество (если s = 0). Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ , а так как каждый набор входит с коэффициентом , принимающим два значения: 0 или 1, то число всевозможных полиномов будет . Так как каждому полиному соответствует единственная функция, число функций от n переменных равно числу полиномов, то каждой функции будет соответствовать единственный полином.

Определение.Функция f(x₁, ..., x_n), полином Жегалкина для которой имеет следующий линейный относительно переменных вид: f = а₀ Å а₁х₁ Å а₂х₂ Å ... Å а_nх_n, называется линейной.

Лемма о нелинейной функции. Суперпозицией нелинейной функции, отрицания и константы 1 можно получить конъюнкцию.

Доказательство. Пусть f(x₁, ..., x_n) – нелинейная функция. Тогда полином Жегалкина содержит для нее слагаемое, в котором присутствует произведение x_ix_j. Будем считать для простоты, что x₁x₂ в многочлене Жегалкина является этим произведением. Произведя группировку слагаемых, функцию f представим в виде

Функция h₀ не есть тождественный нуль, иначе в полиноме Жегалкина отсутствует слагаемое с произведением x₁x₂. Тогда существует набор (a₃, …, a_n) из 0 и 1, для которого h₀(a₃, …, a_n) = 1. Пусть h₁(a₃, …, a_n) = a, h₂(a₃, …, a_n) = b, h₃(a₃, …, a_n) = c. Тогда

Построим функцию:

где d = ab Å c. Если d = 0, то h(x₁, x₂) = x₁x₂. Если d = 1, то h(x₁, x₂) = x₁x₂ Å 1 и тогда Лемма доказана.

Функция f(x₁, ..., x_n) сохраняет константу a Î {0, 1}, если f(a, …, a) = a.

Пример 4. Функция xy сохраняет 0, сохраняет 1. Функция x®y сохраняет 1 и не сохраняет 0.