Представление функции в виде полинома Жегалкина

1. Представим любую функцию формулой над {x₁&x₂, } и сделаем замену =xÅ1. Этот способ удобен, если функция задана формулой.

Пример 2. (x₁ (x₂ x₃))(x₁ Ú x₂) x₃ = (x₁Ú x₂ Ú x₃)(x₁ Ú x₂) x₃ = (`x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> Ú x<sub>1</sub>x<sub>3</sub> Ú x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> Ú x<sub>2</sub> Ú x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>)x<sub>3</sub> = (`x₁x₃ Ú x₂)x₃ = x₁x₃ x₂ x₃ = ((x₁x₃Å1)x₂Å1)x₃ = x₁x₂x₃Åx₂x₃Åx₃.

Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod2 дает 0.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.

Пример 3. Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f(x₁, x₂, x₃) = (01101001) = а₀ Å а₁х₁Å Å а₂х₂ Å а₃х₃ Å b₁x₁x₂ Å b₂x₂x₃ Å b₃x₁x₃ Å cx₁x₂x₃. Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f(0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f(0, 0, 0) = а₀, отсюда а₀ = 0. f(0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f(0, 0, 1) = а₀ Å а₃, т.к. а₀ = 0, отсюда а₃ = 1. Аналогично, f(0, 1, 0) = 1 = а₂, f(0, 1, 1) = 0 = а₂ Å а₃ Å b₂ = b₂ = 0; а₁ = 1; 0 = а₁ Å а₃ Å b₃ = b₃ = 0; 0 = а₁ Å а₂ Å b₁ = b₁ = 0; 1 = 1 Å 1 Å 1 Å c; c = 0; f(x₁, x₂, x₃) = x₁ Å x₂ Å x₃.

3. Многочлен Жегалкина можно получить также с помощью треугольника Паскаля по единицам его левой стороны по таблице следующим образом. Построим многочлен Жегалкина для функции f = (10011110). Верхняя сторона треугольника есть функция f. Любой другой элемент треугольника есть сумма по модулю для двух соседних элементов предыдущей строки. Левая сторона треугольника для функции f содержит шесть единиц. Многочлен Жегалкина будет содержать шесть слагаемых. Первая единица треугольника соответствует набору (000). Первое слагаемое многочлена есть 1. Третья снизу единица в левой стороне треугольника соответсвует набору (101). В качестве слагаемого многочлена берем x₁x₃. Аналогично для других единиц треугольника. Слева от наборов показаны слагаемые многочлена Жегалкина.

Тогда