Функции k - значной логики

Введем обозначение: E_к={0, 1, 2, ..., k–1}.

Функция k-значной логики, зависящая от n переменных, – это закон, отображающий . Множество функций k-значной логики обозначается как Р_k. Функция из Р_k полностью определена, если задана ее таблица истинности, т.е. заданы значения на всех наборах. Наборы можно рассматривать как записи в k-ичной системе счисления чисел от 0 до k–1, всего наборов kⁿ. Функций из Р_k, зависящих от n переменных, будет kⁿ. |P₃(n)|, например, будет 3, если n = 2, то |P₃(2)| = 3⁹ = 19683 (k=3, n=2).

В k - значной логике также есть функции, которые называются элементарными. Приведем некоторые из них, примеры будем приводить для k = 3 и n = 2.

1. Циклический сдвиг или отрицание Поста: = x+1(mod k).

2. Зеркальное отображение или отрицание Лукосевича: N_x = k–1–x.

Эти две функции являются обобщением отрицания.

3. J_i(x)={k-1, x = i, I = 0, 1, 2, ..., k–1}.

4. min(x₁,x₂) – обобщение конъюнкции;

5. x₁×x₂(mod k) – второе обобщение конъюнкции;

6. max(x₁,x₂) – обобщение дизъюнкции;

7. x₁+x₂(mod k) – сумма по mod k.

Принято min(x₁,x₂) обозначать x₁&x₂, max(x₁,x₂) обозначать x₁Úx₂.

Как и в двузначной логике, можно ввести понятие формулы над множеством и ставить вопрос о полной в Р_k системе функций.