Дифференциальное и операторное уравнения, передаточная функция и характеристическое уравнение разомкнутой системы

Рассмотрим математическую модель разомкнутой системы, которая выражается дифференциальным уравнением общего вида:

(2.1)

где y –управляемая величина, x – управляющая величина; обе – функции времени;коэффициенты a_i, b_i – постоянные. Правая часть описывает воздействие, левая часть – изменение управляемой величины.Решение уравнения (2.1) дает полное представление об изменении управляемой величины.

Однако в теории автоматического управления предпочитают иметь дело не с дифференциальным уравнением, а с операторным уравнением, точнее – с его особой формой, которая получила название «передаточная функция».

Операторное уравнение получают, применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению.

Суть преобразования Лапласа в том, что функцию от времени преобразуют в функцию от комплексного временного ( - действительная часть, w - мнимая часть, j = ). Функцию от времени называют «оригинал», а ее преобразование по Лапласу – «изображение». Для изображения используют прописные буквы.

Символически преобразование Лапласа принято обозначать прописной буквой L. Например, , , .

(Читается: «изображение функции x(t) есть X(p)» и т. д.)

При преобразовании Лапласа коэффициенты-множители не меняются, а изображение производной представляется произведением комплексного переменного p на изображение функции. Например,

, .

Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению общего вида (2.1) , получаем

Или (2.2)

Введем обозначения: b₀p^m + b₁p^m-1 +…+ b_m-1 p + b_m = В(p) , (2.3)

a₀pⁿ + a₁p^n-1 +…+ a_n-1 p + a_n = D(p) . (2.4)

Комплексный полином В(р) описывает управляющее воздействие на систему. Комплексный полином D(p) описывает изменение управляемой величины. Введенные обозначения позволяют представить уравнение (2.2) краткой записью:

D(p) Y(p) = B(p) X(p).

Уравнение (2.2) и его краткую запись называют операторным уравнением.

Особую роль в математическом описании линейных систем автоматического управления играет отношение Y(p) / X(p). Его называют передаточной функцией и обозначают W(p). . (2.5)

Уточним, что выражение (2.5) является передаточной функцией разомкнутой системы, поскольку получено из дифференциального уравнения (2.1) , записанного для разомкнутой системы.

Операторное уравнение можно записывать, используя передаточную функцию:

Y(p) = W(p) X(p). (2.6)

Как было сказано, комплексный полином D(p) описывает изменение управляемой величины. То есть, характеризует процесс, который происходит в системе под влиянием управляющего воздействия. Поэтому полином D(p) называют характеристическим. Приравнивая его к нулю, получают характеристическое уравнениесистемы:

a₀pⁿ + a₁p^n-1 + …+ a_n-1p + a_n = 0 . (2.7)

Характеристическое уравнение позволяет найти корни и получить решение дифференциального уравнения. Характеристический полином, характеристическое уравнение служат основой исследования системы на устойчивость.

Для преобразования Лапласа необходимо, чтобы начальные условия были нулевыми, а дифференциальные уравнения – линейными. Однако, линейность уравнений, описывающих реальные технические системы, скорее исключение, чем правило. В случае слабо нелинейной зависимости (типа слабо искривленной линии, участок которой можно заменить прямой с пренебрежимой погрешностью), осуществляют линеаризацию и ведут расчеты на отрезке прямой.