Частотные характеристики

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p = s + jw. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = jw, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция: . (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полиномВ(jw) в развернутом виде,

,

представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо –1, либо +1.

Частотный полином D(jw) в развернутом виде имеет ту же структуру:

D(jw) = D₁(w) + jD₂(w) ,

Следовательно, комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

.

Первое слагаемое обозначим U(w), второе V(w). U(w) называют действительной частотной характеристикой, V(w) - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи

W(jw) = U(w) + jV(w) . (2.9)

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.

V(w)

М

A V

j

0 U U(w)

Рис. 2.1.

Для заданной частоты U(w) и V(w) – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости. Соединив прямой А начало координат с точкой М , получим прямоугольный треугольник. Для него справедливы соотношения: , , , . (2.10)

Все величины – функции частоты w.

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

W(jw) = U(w ) + jV(w) = A ( cos j(w) + j sin j(w) ).

По формуле Эйлера . Поэтому

. (2.11)

А(w) называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. j(w) называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.