Характеристика стационарного состояния контура ФАПЧ

Для Фурье-образа рассогласования по фазе из (6) получаем:

(4.7)

Из выражения (4.7) можно сделать вывод о том, что чем уже эффективная полоса , тем хуже способность контура к отслеживанию фазы поступающего сигнала . Однако чем шире эффективная полоса , тем больше уровень шума, поступающего на вход контура. Следовательно, при проектировании контура должен достигаться определенный баланс между параметрами, связанными с шумом и желаемой реакцией на изменение входной фазы.

Установившаяся ошибка – это остаточная ошибка после завершения всех переходных процессов, поэтому данная ошибка определяет, насколько контур способен справиться с различными типами изменений на входе.

Используя результаты теоремы об окончательном значении получим :

(4.8)

Рассмотрим отклик контура, находящегося в стационарном состоянии, на скачок фазы на входе контура. Предположим, что изначально контур ФАПЧ синхронизирован по фазе с входным сигналом, а скачок фазы вывел его из этого состояния. Фурье-образ скачка фазы равен

(4.9)

где - величина скачка,

- единичная ступенчатая функция

Из формул (8) и (9) получаем:

в предположении, что

Таким образом, при любом скачке фазы, произошедшем на входе, контур со временем синхронизируется, если характеристика контурного фильтра имеет ненулевую постоянную составляющую.

Рассмотрим отклик контура, находящегося в стационарном состоянии, на скачок частоты на входе. Посредством скачка частоты можно аппроксимировать последствия доплеровского смещения частоты входного сигнала вследствие относительного движения передатчика и приемника. Следовательно, данный пример важен для систем с мобильными терминалами. Поскольку фаза является интегралом частоты, при постоянном сдвиге входной частоты входная фаза (как функция времени) будет меняться линейно. Фурье-образ фазовой характеристики – это Фурье-образ интеграла частотной характеристики. Поскольку частотная характеристика – это ступенчатая функция, а образ интеграла – это образ подинтегрального выражения, деленного на параметр , можно записать

(4.10)

Подстановка уравнения (10) в уравнение (8) дает:

(4.11)

В данном случае стационарный результат зависит не только от ненулевой постоянной составляющей, но и от других свойств контурного фильтра. Если фильтр является «всепропускающим» ( широкополосным с полосой, равной бесконечности), то

(4.12)

Если фильтр является фильтром нижних частот, то (4.13)

Если фильтр является стабилизирующим, то (4.14)

Подстановка любого из значений (4.12), (4.13) или (4.14) в (4.11) дает результат, что контур отследит изменение входной фазы с установившейся ошибкой, величина которой зависит от члена и величины скачка частоты:

(4.15)

Стационарная ошибка, называемая ошибкой по скорости, будет существовать вне зависимости от порядка фильтра, если только знаменатель передаточной функции фильтра не будет содержать в виде множителя, что равносильно наличию идеального интегратора в контурном фильтре ( его можно достаточно хорошо аппроксимировать цифровым образом). Следовательно, если структура системы требует отслеживания доплеровского смещения при нулевой стационарной ошибке, контурный фильтр должен быть близок к идеальному интегратору. Следует отметить, что даже при ненулевой ошибке по скорости частота по-прежнему отслеживается: существуют системы, где стремление к нулевой фазовой ошибке не важно ( некогерентные схемы).

Рассмотрим отклик контура, находящегося в стационарном состоянии на линейное (по времени) изменение частоты на входе. Данная ситуация соответствует ступенчатому изменению производной по времени от входной частоты. Это может, например, аппроксимировать изменение скорости доплеровского смещения, что позволило бы смоделировать ускорение относительного движения передатчика и приемника. Фурье-образ фазовой характеристики при этом:

(4.16)

Здесь - скорость изменения частоты.

В данном случае использование уравнения (8) дает следующий результат:

(4.17)

Если контур имеет ненулевую ошибку по скорости ( т.е. правая часть уравнения (4.11) не равна нулю) , стационарная фазовая ошибка становится неограниченной вследствие линейного изменения частоты. Это означает, что контур ФАПЧ с контурными фильтрами, характеристики которых описываются уравнениями (4.12)-(4.14) не сможет отследить линейное изменение частоты. Чтобы все-таки отследить это изменение, знаменатель передаточной функции контурного фильтра должен в качестве множителя иметь . Контурный фильтр с передаточной функцией вида позволит контуру ФАПЧ отследить линейное изменение частоты с постоянным рассогласованием по фазе. Для отслеживания сигнала с линейно меняющимся доплеровским сдвигом (постоянным относительным ускорением) приемник должен содержать контур ФАПЧ второго или более высокого порядка. Для отслеживания линейного изменения частоты с нулевым рассогласованием по фазе потребуется контурный фильтр с передаточной функцией, имеющей в знаменателе множитель : . Из этого следует, что контур ФАПЧ должен быть третьего или более высокого порядка. Во всех случаях синхронизация частоты получается с помощью контура на один порядок ниже, чем необходимо для синхронизации фазы. На практике подавляющее большинство контуров ФАПЧ имеет второй порядок. Это объясняется тем, что контур второго порядка можно спроектировать безусловно устойчивым. Никакие входные условия не приведут к тому, что контур будет реагировать на изменения входа в ненадлежащем направлении. Контуры третьего порядка можно спроектировать только условно устойчивыми. Если вследствие динамики сигнала потребуются контуры третьего или более высоких порядков, то вместо этого используется некогерентная демодуляция.