Определение непрерывности функции

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки

Определение 1: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке если для любого найдется такое, что при всех х, удовле­творяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Или Функция y = f(x) называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности точки , существует предел функции при и он равен значению функции в этой точке:

Определение 2: Функция y=f(x) называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Исходя из определений и свойств предела и непрерывности функции, можно доказать непрерывность основных элементарных функций.

Определение 3: Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва.

Определение 4: Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы в этой точке.

Определение 5: Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода, т.е. хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен .

Пример: Исследовать на непрерывность функцию в точке х=0

, т.к. , то , а

, т.к. , то , а

Таким образом, х=0 точка разрыва второго рода.

Рассмотрим функцию y = f(x) на интервале . Возьмем произвольную точку из данного интервала. Для любого х из интервала разность называется приращением аргумента х в точке . Таким образом

Разность называется приращением функции f(x) в точке .

Определение 6: Функция y = f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда приращение функции в точке стремится к нулю, если приращение аргумента стремится к нулю

Пример: Исследовать на непрерывность функцию

Зададим аргументу х приращаение, тогда приращение функции:

Найдем предел приращения функции при :

при всех х, кроме нуля.

Таким образом, функция непрерывна во всех точках области определения, точка х=0 является точкой разрыва.

Найдем пределы функции слева и справа в точке х=0:

Таким образом, точка х=0 является точкой разрыва второго рода.