Решение. Усилия N1, и N2 в стержнях АА1, и ВВ1, шарнирно прикрепленных по концам, направлены вдоль осей этих стержней

Усилия N₁, и N₂ в стержнях АА₁, и ВВ₁, шарнирно прикрепленных по концам, направлены вдоль осей этих стержней. Реакция опоры К имеет горизонтальную составляющую Н_К, и вертикальную составляющую R_К, т.к. эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещению точки К бруса.

Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис.2.54), а уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима. Статически неопределимые системы рассчитывают путем совместного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.

Рис. 2.54

1. Найдем усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q.

Статическая сторона задачи. По условию задачи необходимо определить усилия N₁, и N₂ стальных стержней АА₁, и ВВ₁, a в определений реакций Н_К, и R_К нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакция Н_К, и R_К . Таким является уравнение в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира К:

,

где м.

Подставляя в уравнение значения h, b, с, получим

. (а)

Рис.2.55

Геометрическая сторона задачи. Под действием внешней силы Q абсолютно жесткий брус повернется вокруг точки К. Шарниры А и В после деформации переходят в положение А₂ и В₂ соответственно, т.е. перемещаются по вертикали на величины и (рис.2.55).

Из подобия треугольников AA₂К и ВВ₂К находим

. (b)

Выразим укорочение стержня АА₁ и удлинение стержня ВB₁, через перемещения и .

, ,

откуда

или с учетом равенства (b)

(c)

Физическая сторона задачи. Используя закон Гука, записанный для абсолютных деформаций, выразим удлинения стержней через усилия

;

; (d)

Подставим выражения (c) в условие (d)

,

после сокращения получим

(e)

Решаем совместно уравнения статики (a) и уравнение (e):

.

Определяем напряжения в стержнях 1 и 2:

Па,

Па.

2. Найдем допускаемую нагрузку [Q], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению = 160 МПа.

,

откуда

Н.

3. Найдем предельную грузоподъемность системы Q_пр. и допускаемую нагрузку [Q_пр], если предел текучести = 240 МПа и запас прочности n = 1,5.

При увеличении нагрузки Q cверх значения [Q] напряжения в обоих стержнях сначала увеличивается прямо пропорционально нагрузке. При увеличении нагрузки до некоторой величины напряжение во второй стержне достигают предела текучести , а усилие N₂ - предельного значения N_2пр = c₁·F. При этом напряжение в первом стержне остается меньше . В процессе дальнейшего увеличения нагрузки напряжения во втором стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а в первом - возрастают, пока также не становятся равными , усилие N₁ при этом равно . Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину Q, вызываюшую предельное состояние, обозначают Q_пр и называют предельной нагрузкой.

Для определения Q_пр, подставим в уравнение (a) значения сил, соответствующих предельному состоянию, когда Q = Q_пр, N₁ = N_1пр, N₂ = N_2пр:

,

откуда

Н.

Н.

4. Сравним величины допускаемых нагрузок [Q] и [Q_пр]

.

Следовательно, при расчете на прочность данной системы по предельной нагрузке грузоподъемность ее увеличивается на 38%.