Упражнения. 27. Доказать рефлексивность, транзитивность и монотонность отношения ⊨.

27. Доказать рефлексивность, транзитивность и монотонность отношения ⊨.

28. Свойство монотонности отношения логического следования говорит, что если к логически корректному умозаключению добавить еще какие-то допущения, оно останется логически правильным. А если к логически неправильному умозаключения добавить посылки, оно (а) останется неправильным, (б) станет правильным или (в) может стать правильным? Ответ поясните.

29. А если из правильного убрать посылки?

30. А из неправильного?

31. Определите, являются ли следующие умозаключения правильными, опираясь только на знание правильных (modus ponens, modus tollens) и неправильных условно-категорических умозаключений, а также ряда законов логики (де Морган и коммутативности и др.) и свойства транзитивности и монотонности отношения логического следования.

1) Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но ты не умнее. Значит, я не император.

2) Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но я не император. Значит, ты не умнее.

3) Только если сегодня суббота, у меня есть шанс выспаться. Шанс есть. Значит, суббота.

4) Если сегодня суббота, у меня есть шанс выспаться. Шанс есть. Значит, суббота.

5) Если ты умнее Аристотеля, то я китайский император. Но я не император. Да и ты тоже. Значит, ты не умнее.

6) Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия. Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра нет ни логики, ни математики.

7) Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия. Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра нет логики или математики.

8) Если завтра экзамен по логике или математике, то сегодня меня терзают смутные предчувствия. Предчувствий нет, даже смутных. Значит, завтра логики нет.

32. Наличие противоречия (т.е. утверждения вида «А и не-А») в теории, основанной на классической логике, имеет для нее катастрофические последствия. Какие? Казалось бы, ну получил ты, что какое-то утверждение, и его отрицание верны, ну, выпил триста капель валерьянки, успокоился, живешь и работаешь дальше, изучаешь свою теорию. Почему не так? (И дело не в валерьянке и не в количестве капель.)

33. Для следующих схем рассуждения определите, являются ли они логически корректными, не строя таблицы истинности (в некоторых случаях предполагается, что студенты знают ряд законов КЛВ).

(a) p&Øp, qÉØr ⊨ Ør

(b) p& q₁&q₄&Øp&s, qÉØr ⊨ ØrÉq

(c) p&q₁&q₄&s, q₁ º p, q ⊨ (ØrÚØq₁ÚsÚrÚp)&(pÚØqÚØsÚØpÚØq₄)

(d) p&q₁&q₄&s, rÚq₁ÚsÚs₁Úp ⊨ p₄Úq₄Ús₄Úq₄

(e) T⊨Ø(p & q) º (Øр & Øq)

(f) ^⊨Ø(p & q) º (Øр & Øq)

(g) p⊨Ø(p & q) º (Øр Ú Øq)

(h) T⊨ (р É q) º (q É p)

Ответы

Гл.3 Упр.2 (с)

Подформулы:

q , p, s, r

q

p⊃q

(p⊃q)

s≡r

s≡q

(s≡r)v(s≡q)

(p⊃q)⊃((s≡r)v(s≡q))

(то есть все формулы, расположенные в узлах дерева)

Главный знак – вторая импликация:

((p⊃q)⊃((s≡r)v(s≡q)))

(вторая импликация – последний при построении данной формулы знак).

Нагруженное дерево формулы:

Гл.3 Упр.6

1. q É р

2. р É q

3. р º q

4. p₁ & р₂ & р₃ & r & Øq

5. p É (r Ú q)

6. 1-й вариант: (r Ú q)É р

2-й вариант: Øp É Ø(r Ú q)

7. (p₁& р₂ & р₃ & r) É q

8. 1-й вариант: (p₁Úр₂Ú р₃Ú r) É q

2-й вариант: Øq É Ø (p₁Úр₂Ú р₃Ú r) )

9. p º (r Ú Øq)

10. 1-й вариант: q É ((s₁ & s₂ & s₃ & Øs₄ ) É (p₁ & р₂ & р₃ & r))

2-й вариант: (q & s₁ & s₂ & s₃ & Øs₄ ) É (p₁ & р₂ & р₃ & r)

11. 1-й вариант: (q₁ Ú q₂) É (Ø (s₁ Ú s₂) É (p₁ & р₂ & р₃ & r))

2-й вариант: ((q₁ Ú q₂) & Ø (s₁ Ú s₂)) É (p₁ & р₂ & р₃ & r)

12. (s₁ Ú s₂ ) º (р & Øs)

13. 1-й вариант: Ø р É Ø (p₁ & р₂)

2-й вариант: (p₁ & р₂) É р

14. Øр É (p₁ & р₂)

15. Øр º (p₁ & р₂)

Гл.3 Упр.9

Ответ: логическое значение данного высказывания – ложь.

Гл.3 Упр. 12(а) Будем вычислять значение формулы в следующем порядке:

1 2 6 3 5 4

(Øр É q) & (Øq É Ør)

ϕ₁ (Øр)= л; (при этой оценке р полагаем истинным, тогда его отрицание будет ложным – по определению отрицания)

ϕ₁ (Øр É q)= и;

ϕ₁ (Øq)= л;

ϕ₁ (Ør) =и;

ϕ₁ (Øq É Ør) = и;

ϕ₁ ((Øр É q) & (Øq É Ør))=и.