Упражнения. 13. Что вам подсказывает ваша интуиция, каков логический статус нижеследующих формул – логический закон (ЛЗ)

13. Что вам подсказывает ваша интуиция, каков логический статус нижеследующих формул – логический закон (ЛЗ), логическое противоречие (ЛП) или логически недетерминированная формула (ЛН)? Заполните первый столбец таблицы.

Теперь установите логический статус формул с помощью таблиц истинности, заполните второй столбец таблицы получившимися результатами и сравните их.

1. ⁺ Ø(pÚq) º (ØрÚØq)

2. ⁺ ^ É p

3. ⁺Ø(р & q) º (q & р)

4. ⁺ ((р Ú Øq) & r) É (q & Ør)

5. p É T

6. ^

7. T

8. (р & q) º (q & р)

9. (р É q) º (q É p)

10. Ø(p & q) º (Øр & Øq)

11. p & (q & Øр)

12. ((р Ú (q Ú r)) º ((р Ú q) Ú r)

13. Ø(p É q) º (р & Øq)

14. ((р É q) & (р É r)) É ((Øq Ú Ør) É Øp)

15. ((рÚqÚr) º s) É ((pºs) & (qºs) & (rºs))

16. Ø((TÉs)Ú(^É^))

14. Используя законы ассоциативности для & и Ú опустите максимальное число скобок в формулах.

(a) ⁺ (((рÚ(q & r))Úq)Ú(((s&r)Úp)&q₁)) É (((p&s) & (q&s)) & (rÚs))

(b) ((р Ú (q & r)) Ú (s&(r&s₁))) É (((p &s) & (q &(rÚ s)) & (r Ú s))

(с) (((р&(q & r)) Ú (s&(r&s₁))) É (((p &s) & (q Ú (rÚ s)) & (r Ú s)))&p₁

15. Для следующих формул решите вопрос об их логическом статусе (является ли каждая из них тождественно-истинной, тождественно-ложной или логически недетерминированной), не строя таблицы истинности.

(a) (Ø((sÉ(рÚØq))É((q&r)Ú^)))&((sÚr)&(^&p))

(b) (((q&r)Úr₁))&((sÚr)&(p₁₂&p))) É((p₁₂ºØr)Ú((TÚp₁₂)&(^ÚT)))

(с) (p&r&r₁&r₂&r₃)Ú(((pÚp₁)&(p₂Úr₃))Ú((sÚp)&(rÚq)))

(главный знак в формуле (с) – первая слева дизъюнкция)

Если истинность или ложность высказываний зависит не только от понимания логических связок (от логики), но и от фактов (от значения параметров), высказывание относим к логически недетерминированным. Скажем, предложение «Сегодня холодно и морозно» логически недетерминировано, т.к. его структуре – р&q – соответствуют как истинные предложения, так и ложные. В высказывании «сегодня вторник и не вторник», напротив, от фактов (какой именно день недели) ничего не зависит: высказывание ложно, независимо от дня недели, в который оно произносится, поскольку его структура - р&Øр - порождает только ложные предложения. Тогда говорим, что высказывание логически противоречиво. Если структура высказывания – закон логики, тогда это высказывание логически истинно. Если от фактов ничего не зависит, и структура предложения порождает высказывания только одного типа только истинные или только ложные, тогда говорим, что высказывание логически детерминировано.

16. Что вам подсказывает интуиция: значения (истина или ложь) следующих предложений зависят от фактов (т.е. являются логически недетерминированными) или в следующих предложениях от фактов ничего не зависит, а их (предложений) значения целиком определяются их структурой, т.е. (а) истинны в силу структуры (б) ложны в силу структуры; (в) они логически недетерминированы. Сначала решите, что вам подсказывает интуиция, затем установите ответ, проанализировав их структурную информацию с помощью таблиц истинности (т.е. найдите структуру предложения и проанализируйте ее как в упражнении 13.)

а) ⁺ Если неверно, что не знаешь английский, французский и немецкий, значит, ты знаешь эти языки.

б) Москва – столица России или Португалии.

в) Если верно, что Москва – столица Португалии, тогда верно, что она столица Португалии или России.

г) Либо если идет снег, то жарко, либо если жарко, то идет снег (или и то, и другое)[11].

д) Неверно, что если сегодня – четверг, то сегодня четверг.

е) Если на лекции не было Р.Раскольникова или Д.Разумихина, значит неверно сказать, что на лекции присутствовали Р.Раскольников или Д.Разумихин.

ж) Дождь пойдет в том и только в том случае, если я возьму с собой зонтик, хотя неверно, что если я беру с собой зонт, то дождь пойдет.

з) То, что она изучает латынь или (2-й вариант) и латынь, и древнегреческий эквивалентно тому, что она изучает латынь.[12]

Тема 4: Логические отношения между структурами предложений.

Отношение логического следования в КЛВ

Свойства отношения логического следования

Пояснения

Выше изучались структуры отдельных предложений. Рассмотрим, как табличный метод работает с (простейшими) рассуждениями. Табличный метод проверяет, уместен (законен) ли в умозаключении шаг вывода, анализируя структуру умозаключения. В последней выделяются три различных компонента: посылки, шаг вывода, заключения. Структуры посылок и заключения – формулы. Переход от предложений к их структурам уже разобран во 2-й теме. Выше не было символа для отношения логического следования. Будем использовать для него знак «штопора» (выражение Е.К.Войшвилло):

⊨ -символ для отношения логического следования