Введение в формальную логику

Эта логика представляет одно из направлений современной неклассической математической логики. Объективными основа­ми появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о пе­реходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и от­носительным покоем наблюдаются в природе, обществе и позна­нии. В природе и обществе происходят изменения, предметы и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, промежуточные ситуации, неопределен­ность в познании, переход от незнания или неполного знания к более полному и точному. Действие законов двузначной логи­ки — закона исключенного третьего и закона непротиворечия — в этих ситуациях ограничено или вообще неприменимо. На необщезначимость этих законов указывал еще Аристотель. Го­воря о будущих единичных случайных событиях, по Аристотелю, нельзя считать суждение истинным или ложным, оно неопре­деленно.

Закон непротиворечия утверждает, что два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении. Но в разное время они могут быть оба истинными. Аристотель писал: «Все изменяющееся необходимо должно быть делимым... необходимо, чтобы часть изменяющегося предмета находилась в одном (состоянии), часть — в другом, так как невозможно сразу быть в обоих или ни в одном»⁵¹.

Вследствие неопределенности интервалов и неопределенности состояний изменяющегося предмета предполагается временная интервальная паранепротиворечивая семантика, допускающая истинность как высказывания А, так и не-А. Кроме временных интервалов с переходными состояниями наше мышление имеет дело с так называемыми нечеткими понятиями (нежесткими, расплывчатыми, размытыми — fuzzy), отражающими нежесткие множества, концепция которых предложена в 1965 г. американс­ким математиком Л. Заде. Все это обусловило необходимость и возможность появления паранепротиворечивых логик (paraconsistent logics) — логических исчислений, которые могут лежать в основе противоречивых формальных теорий. Проти­воречивые данные возникают в судебных заседаниях, дискуссиях, полемике, постановке диагноза болезни, в научных теориях (пре­жних и новых), в ситуациях, связанных с решением нравственных проблем, и в других сферах интеллектуальной деятельности. В связи с этим встала проблема создания информационной систе­мы, работающей с противоречивыми данными.

Предшественниками паранепротиворечивой логики как ново­го вида неклассической формальной логики явились Н. А. Васи­льева и Я. Лукасевич. Как новый вид математической логики паранепротиворечивая логика разрабатывалась в работах польского логика Ст. Яськовского (1948) и бразильского мате­матика Ньютона да Коста (начиная с 1958 г.). История паранепротиворечивой логики изложена бразильским логиком А. И. Аррудой в работе «Обзор паранепротиворечивой логики. Матема­тическая логика в Латинской Америке»⁵³ .

В паранепротиворечивых системах принцип (закон) непроти­воречия лишен всеобщей значимости. Логике не присущи ни единство, ни абсолютность — эту мысль мы встречаем у многих современных логиков, в том числе у II. да Коста. В статье, специально написанной для журнала «Философские науки» («Фи­лософское значение паранепротиворечивой логики»), Н. да Ко­ста пишет: «Допустим, что имеющийся у нас язык дедуктивной теории Т содержит в себе символ отрицания. Т называют проти­воречивой (inconsistent) теорией, если и только если в Т имеются две теоремы, одна из которых есть отрицание другой; в проти­воположном случае Т считается непротиворечивой (consistent). Т считают тривиальной, если и только если все формулы (или все высказывания [sentences]) языка Т являются также теоремами Г; в противном случае мы называем Т нетривиальной. ... Система логики паранепротиворечива, если она может быть использована как логика, лежащая в основе противоречивых, но нетривиаль­ных теорий»⁵⁴. Н. да Коста полагает, что вместо стандартных теорий множеств могут быть использованы паранепротиворечивые теории множеств. Система паранепротиворечивой логики в общем случае должна удовлетворять следующим условиям: 1) из двух противоречащих формул А и в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В; 2) дедуктивные сред­ства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они — основа всех обычных рассуждений. В первую очередь должен быть сохранен modus ponens, т. е. рассуждение по формуле

Паранепротиворечивая логика связана со многими видами неклассических логик: с модальной логикой (т. е. системой S5) К. И. Льюиса, с многозначными логиками, с релевантной логи­кой, где тоже не принимается принцип «из противоречия следует все, что угодно». Исследование многозначных логик показало, что закон непротиворечия, т. е. формула не является тавтологией в следующих системах: трехзначных логиках — Я. Лукасевича, Г. Рейхенбаха (для циклического и диаметрального от­рицаний), Р. П. Гудстейна, Д. Бочвара (для внутреннего отрица­ния); m-значной логике Э. Л. Поста. В исследованных нами (А. Г.) 13 формализованных логических системах из 17 имеющих­ся в них видов отрицания для 10 видов закон непротиворечия является тавтологией (доказуемой формулой), для остальных же 7 он не является тавтологией. Это происходит потому, что кроме значений истинности — «истина» и «ложь» в многозначных логи­ках имеется значение «неопределенно». Но в классической, конст­руктивных и интуиционистских логиках от закона непротиворе­чия нельзя отказаться, ибо в этих логиках отражены жесткие ситуации «или—или» («истина—ложь»), конструктивный процесс присутствует или его нет, одновременно то и другое не может быть. Поэтому классическая, интуиционистская, конструктивная и ряд других логик не годятся в качестве логик, которые могут быть основанием противоречивых, но нетривиальных теорий. Положительные логики также для этого не годятся, ибо в них нет операции отрицания. Некоторые современные логики (например, немецкий логик К. Вессель) не признают паранепротиворечивые логики. Построением паранепротиворечивых логических системи анализом их философского значения занимаются А. С. Карпенко, А. Т. Ишмуратов и другие ученые.

Интересны и оригинальны статьи американского математика Н. Белнапа «Как нужно рассуждать компьютеру» (1976) и «Об одной полезной четырехзначной логике» (1976), посвященные формализации общения с информационными системами, в кото­рых содержится противоречивая информация. Белнап построил четырехзначную логику, значениями истинности которой явля­ются следующие: Т — «говорит только Истину»; F — «говорит только Ложь»; None — «Не говорит ни Истины, ни Лжи»; Both — «говорит и Истину, и Ложь»⁵⁵. Н. Белнап отмечает, что входные данные поступают в компьютер из нескольких независи­мых источников, и в таких условиях проявляется типичная осо­бенность информационной ситуации: угроза противоречивости информации. Что в таком случае должен делать компьютер, особенно если в системе содержится необнаруженное противоре­чие? Свою четырехзначную логику Белнап и предлагает в качест­ве практического руководства в рассуждениях⁵⁶.

Итак, паранепротиворечивые логики демонстрируют возмож­ность наличия очень сильных противоречивых, но нетривиальных (т. е. паранепротиворечивых) теорий.

КОНЕЦ.

Введение в формальную логику

Учебное пособие

Глава 3

Классическая логика высказываний

В этой главе изучаются структуры предложений с точностью до простых предложений, т.е. внутренняя структура простых предложений не рассматривается и параметры вводятся только для простых предложений. Учитываются только способы соединения простых предложений. Представление структур предложений необходимо для решения, как минимум, двух задач.

Во-первых, логические формы предложений будут специфицированы: среди всех возможных структур предложений будут выделены те, которые порождают только истинные предложения (законы логики), те, которым соответствуют только ложные, и те, которым соответствуют как истинные, так и ложные предложения.

Второе применение структур предложений связано с изучением элементарного логического действия – шага вывода. Для того чтобы определить, является ли умозаключение логически правильным (следует ли из информации посылок информация заключения), необходимо проанализировать его структуру, а для этого надо представить структуры (предложений-) посылок и (предложения-)заключения.

Тема 1: Язык классической логики высказываний (ЯКЛВ)

Определения и примеры

Структуры языковых выражений формализованных языков могут строиться только из символов, перечисляемых в алфавите, в частности это относится и к языку первой из изучаемых здесь логических теорий. Исходные символы языка КЛВ делятся на три группы: те, которые несут логическую информацию; те, которым соответствует нелогическая информация; наконец, вспомогательные символы, указывающие на порядок построения выражения.

Алфавит ЯКЛВ (перечень исходных символов)

1. Нелогические символы:

p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ … (и т.д.), –

называются пропозициональные (или высказывательные) переменные[2].

2. Логические символы:

Ø, &, Ú, É, º, ^, Т.

3. Технические символы: левая и правая скобки – ( , ).

Еще раз: из этих символов (и только из них) строятся в логике высказываний структуры предложений естественного языка.

Логические символы (за исключением двух) вводились как аналоги некоторых выражений естественного языка. В нижеследующей таблице, дающей краткое предварительное ознакомление с введенными логическими символами, в скобках указаны другие распространенные способы обозначений соответствующих связок (но не все).

Хотя константам истины и лжи ничего не соответствует в естественном языке (нет предложений такой структуры), их введение имеет ряд достоинств.

Формула ЯКЛВ (структура предложения естественного языка):

1. всякая пропозициональная переменная (p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ …) является формулой;

2. символы ^, Т являются формулами;

3. если последовательность символов А является формулой, то последовательность символов ØА также есть формула;

4. если последовательности символов А и В являются формулами, тогда следующие последовательности символов также формулы: (А&В), (АÚВ), (АÉВ), (АºВ);

5. формулой является только последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.