Упражнения. 1. Являются ли данные последовательности символов формулами языка КЛВ?

1. Являются ли данные последовательности символов формулами языка КЛВ? Если нет, то укажите, где ошибка (ошибки).

а) T

б) Tp

в) T&p

г) p₁₂₇

д) q₅₊₇

е) r₄&s₇

ж) Ø^

з) (Ø^)

и) Ø

к) É

л) É(рÉ)

м) sÉ

н) Éq

о) rq₄₄

п) (ØрÉÉq)&(Ø(q(Úp))

р) (Øр, q)ÉØ(qÚp)

с) (ØØØ(ØрÉq)&Ø(qÚp)

т) (ØрÉq)ÚØ(qÚp)(рÚØq)É(q&r)

у) (р Ú Øq) É (q &(s& r))

ф) (&p&q)

х) (^^^)

2. Для следующих формул укажите их главные знаки и все их подформулы. Постройте их нагруженные деревья.

(a) Øр&q

(b) Ø(р&q)

(c)⁺ Ø (p⊃Øq)⊃((s≡r)Ú(s≡q))

(d) Ø(Ø(Øрºq)&Ø(qÚp))

(e) ØØ(Øрºq)&Ø(qÚp)

3. В каких из нижеследующих предложений союзы «и», «но», «а» соответствуют конъюнкции КЛВ?

(a) Сегодня у нас 2 пары английского и одна пара математики.

(b) Тогда я решил: умру, но выучу хеттский язык!

(c) Встретились баба с пустыми ведрами и черная кошка, обе скончались на месте.

(d) Саша и Таня одного возраста.

(e) Саша и Таня – студентки.

(f) Если мы поможем ему, то и он нам тоже.

(g) Он заболел и умер.[4]

4. Укажите несколько предложений русского языка (необязательно истинных), которые имеют следующую логическую форму

а) Øp

б) p&q

в) ØpÚØq

г) ØpÉq

д) p º (r Ú Øs)

е) (pÉr)&(ØpÉs)

ж) Ø (p&q)&(sÉp)

Тема 2: От предложений естественного языка к их структурам (перевод предложений на ЯКЛВ)

Пояснения и примеры

Для того, чтобы правильно перевести предложение на язык классической логики высказываний, т.е. найти его структуру с точки зрения ЯКЛВ надо, во-первых, чтобы результат вашего перевода был формулой ЯКЛВ; и уже во вторую очередь чтобы эта формула действительно соответствовала структуре рассматриваемого предложения.

В процедуре определения структуры предложения (с точки зрения ЯКЛВ) можно выделить следующие последовательные шаги.

(1) Выделяем все простые предложения, входящие в состав данного предложения.

(2) Для каждого из этих предложений вводим свой символ (свою пропозициональную переменную).

(3) Соединяем их так, чтобы отобразить смысл исходного предложения. (Иногда надо переформулировать предложение, чтобы стала очевидна его логическая структура.)

Структуры предложений без условной связи

Пример 1Предложение: "И ты, и я знаем японский язык".

(1) В состав этого предложения этого предложения входят два элементарных:

- "ты знаешь японский язык"

- "я знаю японский язык".

(2) Введем для них (какую-нибудь) символизацию:

- "ты знаешь японский язык" – p,

- "я знаю японский язык" – q.

(3) В предложении утверждается истинность обоих простых предложений, поэтому его структурой является формула p&q.

Неверно было бы в качестве итоговой формулы выписать такую: &p&q. Эта запись вообще не является формулой, и мы не сможем ее анализировать, не сможем с ней работать (а языковые структуры вводятся, как вы могли догадаться, не ради удовольствия, а ради изучения их свойств, классификации и проч.). Хотя в русском языке, как и в некоторых других, допустима конструкция с двойным "и": "И А.С.Пушкин, и М.Ю.Лермонтов знали французский" или с "ни": "Ни Чехия, ни Словакия не являются монархиями."

Пример 2Ни Чехия, ни Словакия не являются монархиями.

Предложение 2 явным образом содержит два отрицания и неявно – соединительное "и" (Чехия не является монархией, и Словакия не является монархией), поэтому формулой, соответствующей структуре данного высказывания, является: Øp&Øq.

Пример 3 Или я ничего не понимаю в людях, или он нас обманывает.

Как и в примере 1, неверен вариант: ÚØpÚq. Опять, хотя в русском языке допустимо употребить два "или", как в нашем примере, в языке логики высказываний это недопустимо: результат не будет осмысленной последовательностью символов (формулой). Связка Ú соединяет две формулы, которые располагают слева и справа от нее. р, q – формулы (по определению), значит pÚq – тоже формула, но ÚpÚq – не формула. Превратить эту запись в формулу можно, заполнив место перед первой дизъюнкцией: …ÚØpÚØq (например, sÚØpÚØq); но тогда результат перевода не отразит структуру исходного предложения) или убрав первую дизъюнкцию.

Правильный вариант: ØpÚq.

Пример 4 Брюссель, Амстердам и Париж расположены в Западной Европе.

Если в формуле несколько подформул соединены конъюнкцией, например, так: ((А₁ &А₂) &А₃ )&А₄ , - расстановка скобок не имеет значения. Данная формула несет ту же информацию, что и (А₁&А₂)&(А₃ &А₄), и А₁ &(А₂ &(А₃ &А₄)), и (А₁&(А₂&А₃))&А₄) (это утверждение обосновывается ниже в одном из упражнений). Поэтому в таких конструкциях скобки можно вообще опустить.

То же самое верно для дизъюнкции и для эквиваленции.

С учетом этого замечания структура примера 4 определяется так: p&q&r.

Пример 5 Из следующих городов: Екатеринбург, Новосибирск, Одесса, Житомир, - по меньшей мере один расположен в Европе.

Выражению по меньшей мере один в данном предложении соответствует нестрогое или.

Структура предложения 5: pÚq rÚs

Пример 6 Если моя бабушка слушает Эминем, то дедушка предпочитает музыку П.Чайковского.

В этом предложении выражение если – то не вводит условную связь (т.е. не утверждается, что из первого вытекает второе), в нем просто сообщается, что бабушка такая, а дедушка – такой.

Структура предложения 6: p&q

Структуры предложений с условной связью: если - то

Структуры А₁&А₂ и А₂&А₁ несут одну и ту же информацию[5], поэтому если вместо правильного варианта (скажем)p&q, вы определите структуру предложения как q&р, это не будет грубой ошибкой. То же относится к А₁Ú А₂ и А₂ÚА₁. Но в условных структурах (если А, то В) нельзя путать условие и следствие. Действительно, одно дело сказать Если N.N. был на Красной площади, значит он был в Москве, и другое – Если N.N. был в Москве, значит он был на Красной площади. Первое предложение истинно, второе – необязательно, а разница между ними только в том, что поменяли местами условие и следствие.

Следующие типы условной связи различны:

- выражение следования в одну сторону: «если…, то…», «…, если…»

Невернов качестве структуры примеру 12 сопоставить формулу ØpÉ(qÉ(s&r))или (Øp&q)É(s&r), поскольку в этих формулах условие (s&r) поставлено на место следствия (после импликации), а следствие q – на место условия (до импликации).

Пример 13 Если завтра суббота или воскресенье, то я высплюсь, если сосед сверху не будет петь, а снизу – продолжать ремонт.

В этом предложении

условия:

Завтра суббота или воскресенье;

Сосед сверху не будет петь, а снизу – продолжать ремонт;

и следствие:

Я высплюсь.

Структура предложения 13: (pÚq) É ((Ør&Ør₁) É s).

2-й вариант структуры примера 13: ((pÚq) & (Ør&Ør₁))És.

Пример 14 Если монета станет ребром, я пойду на занятия и даже послушаю преподавателей, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий.

Структура предложения: pÉ((s&Øp₁)É(q&r)).

Или так: (p&s&Øp₁)É(q&r).

Расстановка скобок (pÉ((s&Ø p₁))É(q&r) неверна!

Пример 15 Если верно, что если ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой), ты болеешь за их противников, значит ты шотландец.

А в этом предложении ситуация такая: ты шотландец, если из чего-то что-то следует, т.е. следствие – Ты шотландец, а условие Если ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой), ты болеешь за их противников.

Структура предложения: (pÉq)Ér.

Расстановка скобок pÉ(qÉr) неверна.

Пример 16 Если монета станет ребром, я пойду на занятия, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий, в противном случае [т.е. если все-таки выпадет орел или решка] я пойду на ипподром или же останусь дома и предамся размышлениям о смысле жизни.

Структура предложения: (pÉ((r&Ø s)Éq))& (ØpÉ(p₁ Ú (q₁&r₁))

Пример 17 Если ты знаешь английский, немецкий, французский, итальянский, испанский, польский, китайский, японский и русский языки, ты полиглот.

С учетом замечания об опускании скобок, структуру примера 17 можно выразить так на ЯКЛВ (символизацию восстановите сами) (p&q&r&s&p₁&q₁&r₁&s₁&p₂ )Éq₂.

Пример 18 Я поеду в январе в Египет, разве что завалю сессию.

Это предложение без изменения смысла можно переформулировать так: Если я не завалю сессию, я поеду на Мальту.

Выражение разве что вводит условие с отрицанием и может быть заменено на если не.

Структура примера 18: ØqÉр.

Пример 19Если я пью кофе, я бодр и радостен, разве что кто-то нахамил или подложил свинью.

В этом предложении два условия: первое введено с помощью если («Я пью кофе»), второе с помощью разве что («Кто-то нахамил мне или подложил свинью») и, значит, есть условие с отрицанием; следствие: «Я бодр и радостен».

Структура примера 19 (1-й вариант): рÉ(Ø(sÚ s₁)É(q&r)).

Неверно было бы поместить отрицание перед каждой переменной, т.е. вместо Ø(sÚs₁) записать (ØsÚØs₁). Во-первых, эти формулы несут разную информацию [7]. Во-вторых, А разве что В означает Если не В, то А. Значит, отрицание должно стоять перед всем предложение В, а не перед какими-то его составляющими.

Менее точную структуру предложения 19 получим, если соберем обе посылки с помощью «и» (&), проотрицав вторую (из-за разве что), поместим их до импликации, следствие - после.

2-й вариант структуры примера 19: (р &Ø(sÚ s₁))É(q&r).

*

Не всякому сложноподчиненному предложению будет соответствовать составная формула (со связками). Например, предложение Она сказала, что занята, не разбивается на составные в нашей системе анализа (с помощью имеющихся у нас связок: и, или и т.д.), поэтому при определении его структуры единственный правильный вариант – заменить все предложение одной пропозициональной переменной (р, q и т.п.).

достаточноеусловие, необходимое условие, необходимое и достаточное условие

Предложениям, в которых составные части связаны с помощью выражений необходимое условие, достаточное условие или необходимое и достаточное условие, соответствуют структуры с условной связью. В нашем языке и теории, которая будет построена ниже на его основе, таким предложениям сопоставляются формулы с импликацией – É. (Такое сопоставление в развиваемой ниже теории будет иметь некоторые интуитивно неестественные следствия, о которых будет сказано в следующей теме.)

достаточноеусловие

То, что А является достаточным условием для В, означает что если наступает А, то наступает и В, и в нашем формальном языке выражается структурой А É В.

Пример 20Две чашки эспрессо утром являются достаточным условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

Структура примера 20: р É q.

Пример 21Неверно, что две чашки эспрессо утром являются достаточным условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

Символизация - из прошлого примера.

Структура примера 21: Ø(рÉq).

Варианты ØрÉqирÉØqневерны: в примере 21 отрицание относится ко всей конструкции с если - то.

необходимое условие

То, что А является необходимым условием для В, означает что если не наступает А, то нет и В, и в нашем формальном языке выражается структурой ØАÉØВ. Последняя формула эквивалентна В É А.

Пример 22Две чашки эспрессо утром являются необходимым условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

Символизация - из примера 20.

Структура примера 22:

1-й вариант: ØрÉØq;

2-й вариант: q É р.

необходимое и достаточное условие

А является необходимым и достаточным условием для В означает, таким образом, верность двух импликаций: ВÉА и АÉВ. Введя символ для «и», получаем (ВÉА)&(АÉВ). Последняя формула логически эквивалентна А º В. (Иногда выражение АºВ рассматривают просто как сокращение для (ВÉА)&(АÉВ).)

Пример 23Потеря сознания - необходимое и достаточное условие для того, чтобы я пропустил финал чемпионата мира или Европы по футболу.

необходимое и достаточное условие – º

или – Ú

Структура примера 20: р º (q Ú r).

Пример 24Радостная новость – достаточное, но необходимое условие для того, чтобы Пал Палыч напился.

Предложение 24 говорит, что если у П.П. радостная новость, он напивается (рÉq)(достаточность), в то же время неверно, что если П.П. напился, то обязательно по причине радостной новости - Ø(qÉр)(не необходимость).

Структура примера 24: (рÉq)&Ø(qÉр).

Выше было рассмотрено, как в языке логики высказываний можно выразить информацию о том, что А необходимое и/или достаточное условие для В. Такое представление в изучаемой ниже теории окажется слишком широким, т.е. некоторые предложения вида Если А, то В, А только если В, А необходимое/достаточное условие для В будут истинными с точки зрения построенной логической системы, но их будет трудно назвать истинными с точки зрения содержательной теории или здравого смысла. Правда ни одно ложное с точки зрения построенной логической теории предложение не окажется истинным (с какой бы то ни было (осмысленной) точки зрения).

Резюмируем некоторые

соответствия между записями с параметрами в естественном языке и формулами

Резюмируем

наиболее часто встречающиеся ошибки при определении структуры высказываний.

Для сравнения представьте, что вам предложили поработать со следующими записями: (х+²)-у=+ или ´6´у=12. Вы поймете, что кто-то совсем плохой, поскольку эти записи вообще не имеют смысла, они не являются правильно построенными арифметическими выражениями. (Ну, так не будьте такими же «совсем плохими».)