Упражнения. 11. Найти истинностное значение следующих высказываний

11. Найти истинностное значение следующих высказываний

а) ⁺ Москва – столица России, а Рим – столица Греции.

б) Москва – столица России, или Рим – столица Дании.

в) Если 11 делится на 3, то 11 делится на 6.

г) Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6.

д) 11 делится на 3 тогда и только тогда, когда 15 делится на 6.

е) Если Майк Тайсон негр, то все негры.

ж) Если Петр I – негр, то все негры.

Поясним теперь, о каком недостатке шла речь выше, когда было сказано, что некоторые предложения вида Если А, то В, А только если В, А необходимое/достаточное условие для В будут истинными с точки зрения построенной логической системы, но их будет трудно назвать истинными с точки зрения здравого смысла.

Рассмотрим предложение

(_*) Если население Москвы больше миллиона, то в Африке обитают бегемоты.

Население Москвы больше миллиона – истина.

В Африке обитают бегемоты – истина.

По определению импликации, если и А, и В истинны, предложению структуры А É В приписывается значение «истинно», значит высказывание (_*) – истинно. Далее, А É В можно прочесть как (1) В есть необходимое условие для А, т.е. наличие бегемотов в Африке является необходимым условием для того, чтобы население в Москве было больше миллиона, а также как (2) А есть достаточное условие для В, т.е. тот факт, что в Москве живет такое-то число людей, гарантирует, что в Африке мы найдем гиппопотамов. Этот пример (вы понимаете, что можно привести сколько угодно аналогичных) показывает, что введенная связка не вполне соответствует тому, что мы подразумеваем, говоря если – то, необходимое условие, достаточное условие и т.д. Такие «издержки» связаны с тем, что когда в логике высказываний мы переходим от структуры предложений к конкретным предложениям, никаких ограничений на подставляемые предложения не вводится и вместо А и В в А & В, А É В, А Ú В и т.д. можно в принципе подставлять любые предложения. (Можно ввести ограничение: пусть А и В будут связаны по содержанию, но это сложнейшая задача – смоделировать содержательную связь между высказываниями, оперируя только их структурной информацией.) Затем, классическая логика при определении смысла условной связи исходит из требования-минимума: блокируется только случай, когда из истины следует ложь. Ситуации, когда интуитивно предложение с условной связью ложно, а в нашей теории оно истинно, мы не получим. Наконец заметим, что всякая теория моделирует объект исследования и не может отобразить все свойства: с какими-то свойствами работаем, что-то (важное для решения тех или иных задач) принимаем в расчет, от чего-то абстрагируемся.

12. Найдите значение формулы (Øр É q) & (Øq É Ør) при следующих оценках:

а) ⁺ ϕ₁(р) = И, ϕ₁(q) = И, ϕ₁(r) = Л;

ϕ₁((Øр É q) & (Øq É Ør)) = …

б) ϕ₂(р) = Л, ϕ₂(q) = Л, ϕ₂(r) = Л;

ϕ₂((Øр É q) & (Øq É Ør)) = …

Можно ли на основании значений данной конъюнктивной формулы при ϕ₁ и ϕ₂ сделать вывод о её логическом статусе (см. ниже о логическом статусе формул)?

Определения, пояснения и примеры