Базис и координаты в n-мерном пространстве

Совокупность каких-либо n линейно независимых векторов называются базисом n-мерного пространства.

Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов , т.е. существуют такие числа х_i, i=1,…,n, что

.

Числа x_i называются координатами вектора в базисе .

Используя частный случай единичных базисных векторов

можно любой набор n чисел (x₁, x₂ …x_n) представить вектором линейного пространства R_n, причем числа x_i являются координатами этого вектора в базисе единичных векторов _. Если при этом , то

,

т.е. координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат.

Понятие базиса и координат вектора Х произвольной природы в базисе позволяет свести вектора любого характера к векторам, представляющим собой систему n чисел. Например, многочлены

можно представить через базис

,

в котором , т.е. множество полиномов степениn представляется как линейное пространство R_n+1. Этот результат справедлив для любых векторов и в общем виде сводится к алгебраической неразличимости (изоморфизму) векторов любой природы, но одинаковой размерности.