Евклидово пространство

Линейное пространство R_nвекторов над полем Р вещественных чисел называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, где каждой паре векторов Î R_n поставлено в соответствие число, обозначаемое через и обладающее следующими свойствами:

и только если .

Ортонормированный базис это базис { , i=1,…,n}, где ( , )=0; ( , )=1

В ортонормированном базисе координаты вектора могут быть выражены через скалярное произведение , т.е. x_i является проекцией вектора на вектор _. Действительно, , поскольку в силу ортонормированности

В ортонормированном и только в ортонормированном базисе евклидового пространства для векторов – столбцов чисел – скалярное произведение может быть определено как , где -вектор строка.

По аналогии с трехмерным пространством можно определить понятие длины или модуля вектора:

, и угла между векторами: .

Скалярное произведение в произвольном базисе представляется более сложной функциональной зависимостью

, где

Пример. Пусть , (рис. 7.2).

Матрица коэффициентов

В результате .

В пространстве С_[a,b] функций, определенных на отрезке [a,b] скалярное произведение

.

Из соотношений, характеризующих скалярное произведение векторов в пространстве непрерывных функций, следуют очень полезные в практических приложениях для предельных оценок