Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными:

или в виде вектор – функции

Разложим левые части уравнений в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничившись производными первого порядка.

Введем в рассмотрение вектора и матрицы:

Тогда полученное разложение можно записать компактно в матричной форме:

, где .

Матрица получила название матрицы Якоби. Элемент матрицы Якоби, стоящий на пересечении i-ой строки и j- столбца равен производной от i-го уравнения по j-ой переменной . Матрица Якоби является аналогом производной вектор – функции.

Линеаризация уравнений в окрестности точки позволяет записать рекуррентное соотношение метода Ньютона , .

Пример: Для решения системы УУН, соответствующей рис. 6.2 методом Ньютона выполнить одну итерацию.

.

Матрица Якоби имеет вид:

.

В качестве начальных приближений примем напряжения узлов равными напряжению базисного узла .

Вектор функций невязок мощности в узлах

.

Матрица Якоби

Для получения первого приближения решается система линейных уравнений:

, откуда

и ;

.

Для выполнения второй итерации нужно вычислить вектор =(-0,0086; -0,0029)^t, найти значения матрицы Якоби

=

и вновь решить систему уравнений относительно вектора . Здесь . В результате второй итерации будет получено практически точное решение и .

6.2. Методы простой итерации и Зейделя-Гаусса

Рассмотрим нелинейное уравнение с одной переменной. Для получения рекуррентного соотношения простой итерации его нужно преобразовать к виду .

Ход итерационного процесса можно проследить графически, построив отдельно левую и правую части рекуррентного соотношения. Для произвольно взятого х⁰ проводится вертикаль до пересечения с . Значение будет принято в качестве х¹ . Поскольку функция y=x имеет угол наклона равный 45⁰, то х¹ находится как абсцисса точки пересечения горизонтали с прямой y=x (рис. 6.3).

Возможны следующие реализации итерационного процесса: монотонная сходимость, , рис. 6.3, а; монотонная расходимость, , рис. 6.3, b, колебательная сходимость; рис. 6.4, а; колебательная расходимость, рис. 6.4, b.

Рис. 6.3. Метод постой итерации, монотонный процесс : а) ; b)

Рис. 6.4. Метод постой итерации, колебательный процесс : а) ; b)