![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Устойчивость решения систем дифференциальных уравненийРешение
соответствующее начальным условиям Другими словами, система уравнений устойчива, если малое изменение начальных условий не вызывает больших изменений решения. В общем случае анализ устойчивости дифференциальных уравнений является сложной задачей, однако для систем линейных дифференциальных уравнений критерий устойчивости решений получается достаточно просто. Поскольку решение системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде (7.17), то каждая неизвестная функция
где Возьмем для простоты одну экспоненту 1. l- вещественное положительное число не равное нулю. В этом случае решение апериодически неустойчиво (рис. 7.11, а), поскольку даже при самом малом изменении начального условия (С,0) с увеличением t разность 2. l - вещественное отрицательное число. 3.
4. l - комплексное число. При решении характеристического уравнения комплексные корни могут появляться только комплексно-сопряженными парами, поэтому в сумме (7.20) имеются члены вида
где
С учетом соотношения или где R - амплитуда колебаний при Нетрудно видеть, что устойчивость ДУ определяется экспоненциальной составляющей. При этом возможны следующие ситуации. 1. 2. 3.
На основании выполненного анализа можно сделать вывод, что решение системы линейных уравнений вида (7.19) будет устойчиво, если все собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части. Пример. Сделать вывод об устойчивости решения дифференциального уравнения
Представленному ДУ поставим в соответствие характеристическое уравнение
Найдем корни характеристического уравнения
Получено три корня, один из которых является положительным и вещественным (данный корень соответствует апериодическому неустойчивому решению, рис. 7.11,а), а два оставшихся - чисто мнимые комплексно-сопряженные корни (соответствуют границе колебательной устойчивости, рис. 7.12, в). Общее решение заданного ДУ является неустойчивым.
|