Аксиомы теории вероятностей

Сопоставим каждому событию А число, называемое, как и прежде, его вероятностью и обозначаемое P(A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:

P( ) = 1; P( ) = 0.

(3.6)

P( ) P(A) P( ).

(3.7)

Если Ai и Aj несовместные события, т. е. Ai Aj = , то

P(Ai Aj) = P(Ai) + P(Aj).

(3.8)

Приведенные аксиомы постулируются, и попытка доказать их лишена смысла. Единственным критерием справедливости является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальный мир.

Аксиому (3.8) можно обобщить на любое конечное число несовместных событий { Аi }ⁿ _i=1:

(3.9)

С помощью аксиом можно вычислить вероятности любых событий (подмножеств пространства ) с помощью вероятностей элементарных событий. Вопрос о том, как определить вероятности элементарных событий, является риторическим. На практике они определяются либо из соображений, связанных с возможными исходами опыта (например, в случае бросания монеты естественно считать вероятности выпадения орла или решки одинаковыми), или на основе опытных данных (частот).

Последний подход широко распространен в прикладных инженерных задачах, поскольку позволяет косвенно соотнести результаты анализа с физической реальностью.

Предположим, что в опыте пространство можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий А1, А2, …, Аn. Согласно (3.3) их сумма представляет достоверное событие:

= .,

так как события А1, А2, …, Аn несовместны, то согласно аксиомам (3.6) и (3.9):

= P( ) = 1.

(3.10)

Поскольку события А1, А2, …, Аn равновозможны, то вероятность каждого из них одинакова и равна

Отсюда непосредственно получается частотное определение вероятности любого события A:

 

(3.11)

 

как отношение числа случаев (m_A), благоприятных появлению события А, к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n.

Совершенно очевидно, что частотная оценка вероятности есть не что иное как следствие аксиомы сложения вероятностей. Представив, что число n неограниченно возрастает, можно наблюдать явление, называемое статистическим упорядочением, когда частота события А все меньше изменяется и приближается к какому-то постоянному значению, которое и представляет вероятность события А.