Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Основные законы и правила теории вероятностей

Читайте также:
  1. AGb III. Проблемы общей теории перевода 105
  2. AGb III. Проблемы общей теории перевода 149
  3. AGb III. Проблемы общей теории перевода 203
  4. Cведения из теории цепей переменного тока.
  5. Cовременные теории мотивации
  6. CОВРЕМЕННЫЕ ТЕОРИИ МОТИВАЦИИ
  7. I I I. ЗАКОНЫ КОЛОРИТА
  8. I. Вспомните основные модальные глаголы и их эквиваленты. Чем они отличаются? Как спрягаются? (Заполните табличку).
  9. I. ЗАКОНЫ УКРАИНЫ
  10. I. Общие правила

 

Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами): сложения и умножения вероятностей.

II.2.4.1. Теорема сложения вероятностей.

Если А1, А2, …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А1, А2, …, Аn:

 

(3.12)

 

Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (3.8).

В частности, поскольку два противоположных события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей

 

P(A) + P( ) = 1 (3.13)

 

Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.

Условная вероятностьсобытия А1 при наступлении события А2 – вероятность события А1, вычисленная в предположении, что событие А2 произошло:

 

P(А1 А2) = P(А1 А2)/P(А2). (3.14)

 

II.2.4.2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А1 и А2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:

 

(3.15)

 

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

 

(3.16)

 

В случае, если события А1 и А2 независимы, то соответствующие условные вероятности

 

 

поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид

 

(3.17)

 

а для конечного числа n независимых событий

 

(3.18)

 

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( ) = q, причем, согласно (3.13)

 

P(A) + P( ) = p + q = 1

 

Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению



 

(3.19)

 

где - биномиальный коэффициент.

 

Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10-3, составляет по (3.19)

 

 

где q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1.

 

Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C032 = 1

 

 

Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие.

 

Расчетные выражения для такого типа ситуаций имеют вид:

 

 

где Pn(i) определяется по (3.19).

 

При больших m вычисление биномиальных коэффициентов Cnm и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа, используется, если npq>>1, а |m-np|<(npq)0,5, в таком случае выражение (3.19) записывается:



 

(3.20)

 

2. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

 

В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.

II.2.5.1.Формула полной вероятности.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

 

P(A) = P(Hi ) P(A Hi ), (3.21)

 

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi;

P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi.

 

Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АH1 H2 АHn , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому

 

В виду зависимости события А от появления события (гипотезы) Hi

P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi), откуда и следует выражение (3.21).

 

2.5.2.Формула Байеса (формула вероятностей гипотез).

 

Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

 

(3.22)

 

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные - P(H1| А), … P(Hn| А)апостериорными.

Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi) P(А| Hi) = P(Hi) P(Hi| А):

 

 

откуда, с учетом (3.21), получается выражение (3.22).

 

Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (3.21), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):

 

(3.23)

 

Выражение (3.23) называют формулой для вероятностей будущих событий.

 

3.1. Случайные величины и их характеристики.

 

Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная случайная величина – величина, принимающая только отделенные (разрозненные) друг от друга значения, которые можно заранее перечислить (например, число агрегатов, вышедших одновременно из работы).

Если дискретная случайная величина Х принимает значения Х1, Х2, …, Хm c заданными вероятностями Р1, Р2, …, Рm , то соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения.

Для дискретных случайных величин закон распределения вероятностей наиболее просто задать с помощью таблиц распределения.

Непрерывная случайная величина – величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (интервал) – например, изменения нагрузки.

 


Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 5; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Аксиомы теории вероятностей | Единичные показатели надежности.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.017 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты