Векторные диаграммы. В электрической цепи (рис

В электрической цепи (рис. 30, а) элементы R, L и С соединены последовательно и подключены к источнику синусоидального напряжения. Ток в такой цепи будет изменяться также по синусоидальному закону.

Уравнение электрического состояния цепи для мгновенных значений напряжений имеет вид и=и_R+u_L+u_C.Если выразить и_R, u_L и u_C через ток и параметры элементов R,L и С, получим

Уравнение электрического состояния может быть записано так же, как сумма векторов напряжений, т. е. вектор напряжения на входе цепи будет равен сумме векторов напряжений на элементах R,L и C (рис. 30, а): .

►Сравнивая правые части уравнений электрического состояния, записанные для мгновенных значений и в виде векторов, можно видеть, что напряжение u_R на элементе R совпадает по фазе с током, напряжение u_L. на элементе L опережает ток на угол π/2 и напряжение и_C на элементе С отстает от тока на угол π/2. Поэтому уравнение в виде суммы векторов можно представить как геометрическую сумму векторов на векторной диаграмме. Построение векторной диаграммы можно начать с вектора тока , так как при последовательном соединении R,L и C он является общим для всех элементов цепи. Направим вектор тока по горизонтальной оси (рис. 30,б), векторы напряжений на участках строим при условии обхода контура против направления тока. Стрелки векторов напряжений направляются в сторону возрастающего потенциала.

Потенциал точки о приравняем к нулю (V₀=0), вектор совпадает с вектором тока и направлен от точки о к точке с. Напряжение на элементе L опережает ток на угол π/2, поэтому вектор строим из точки с к точке b под углом π/2 к вектору тока. Напряжение на элементе С отстает от тока на угол π/2, следовательно, вектор необходимо направить в сторону отставания, т. е. на диаграмме из точки b вниз до точки с (U_C<U_L). Соединив конец вектора с началом координат, получим вектор напряжения источника .

Векторы , и образуют прямоугольный треугольник напряжений, из которого получим

Поделив напряжение на ток, получим выражения для полного сопротивления:

где X= Х_L - Х_C - реактивное сопротивление электрической цепи.

На векторной диаграмме этому выражению соответствует треугольник сопротивлений опгп. Индуктивное и емкостное сопротивления характеризуют свойства цепи, обусловленные ее реакцией на изменение тока и напряжения, поэтому их называют реактивными.

Из треугольника сопротивлений можно определить угол сдвига фаз φ между током и напряжением по формулам: , или . Зная или , по тригонометрическим таблицам определяют угол φ.

ЗАПОМИНИТЕ

В электротехнике условились угол φ обозначать стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения. Знак угла φ в выражении для мгновенного значения тока i определяется характером нагрузки: при индуктивном характере нагрузки (X_L>Х_C) ток отстает от напряжения на угол φ и в выражении для мгновенного значения тока угол φ записывают со знаком минус, т. е. ; при емкостном характере нагрузки (Х_C>Х_L) ток опережает напряжение и угол φ в выражении мгновенного значения тока записывают со знаком плюс, т. е. .

ПРИМЕР В схеме электрической цепи (рис. 30, а) напряжения на элементах равны: U_R= 40 В; U_L=30 В; U_C=60 В. Определить напряжение на входе цепи U_ao (напряжение источника) и напряжения на участках U_ac и U_bo. Векторная диаграмма построена на рис. 30, б.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух приемников, подключенных параллельно к зажимам источника синусоидального напряжения (рис. 31, а). В первом приемнике включены последовательно элементы R₁ и L, во втором соответственно R₂ и С. Оба приемника находятся под действием одного общего напряжения.

Выражение для мгновенных значений токов в первой и второй ветвях заданной цепи имеют соответственно индуктивный и емкостный характер.

Действующее значение тока I и косинус угла φ определяем из следующих выражений:

для первой ветви

;

для второй ветви

;

Зная токи в ветвях, нельзя определить значение тока I в неразветвленной части цепи простым сложением токов I₁ и I₂, так как при этом необходимо учитывать их фазовые углы φ₁ и φ₂. Поэтому ток I определяют как геометрическую сумму токов в ветвях, т. е. . На рис. 31,б изображена векторная диаграмма, где произведено такое суммирование (принято I₁>I₂ и φ₂> φ₁).

Значения токов в ветвях и в неразветвленной части цепи можно определить и аналитически. Для этого вводят понятия активной и реактивной составляющих тока для ветви при последовательном соединении активных и реактивных элементов. Так, для первой ветви с элементами R и L

В этом случае ветвь с током I₁ (его активной и реактивной составляющими) будет соответствовать двум параллельным ветвям (рис. 31, в) с проводимостями g₁ и b_L. В одной ветви схемы замещения будет активная составляющая тока , по фазе совпадающая с напряжением; в другой - реактивная составляющая тока которая по фазе отстает от напряжения на угол ! π/2.

► Ветвь с активной составляющей тока характеризуется активной проводимостью g₁, выражение для которой можно получить исходя из формулы для активной составляющей тока I_1a, т. е.

где - активная проводимость первой ветви.

ЗАПОМНИТЕ

Активная проводимость g= R₁/Z² выражается в сименсах: 1/[Ом] =[См].

Активная проводимость ветви g₁ не является величиной, обратной активному сопротивлению R₁, так как в выражение полного сопротивления ветви входит реактивная составляющая ωL.

►Ветвь с реактивной составляющей тока характеризуется реактивной проводимостью b_L. Выражение реактивной проводимости можно получить из формулы для I_1р, т. е.

где - реактивная проводимость первой ветви, См.

ЗАПОМНИТЕ

Реактивная проводимость b_L не является величиной, обратной реактивному сопротивлению, так как при ее определении учитывается и активное сопротивление ветви. Полная проводимость первой ветви:

Ток в первой ветви (см. рис. 31, а) определяется по формуле I₁=Y₁U.

Активная составляющая тока I_2а совпадает по фазе с напряжением U. Значение I_2а определим по формуле

Реактивная составляющая тока I_2р определяется по формуле

Активная составляющая тока I_а в неразветвленной части цепи равна сумме I_1a и I_2a (обе составляющие совпадают по фазе с напряжением):

Реактивная составляющая тока первой ветви I_1р отстает по фазе от напряжения на угол π/2, а реактивная составляющая тока второй ветви I_2р опережает напряжение на π/2.

► Таким образом, реактивная составляющая тока I_р в неразветвленной части цепи равна разности реактивных составляющих токов I_1р и I_2р. Реактивная проводимость для ветви с индуктивностью b_L записывается со знаком плюс, а для ветви с емкостью b_C - со знаком минус.

Выражение полного тока в неразветвленной части цепи имеет вид

► При смешанном соединении ветвей расчет токов в ветвях производится методом эквивалентных преобразований с использованием проводимостей. Эквивалентное сопротивление приемника определяется через проводимости ветвей и полную проводимость разветвления.