Переменного тока с помощью комплексных чисел

► Анализ режимов в электрических цепях существенно упростится и станет более наглядным, если воспользоваться комплексными числами, а векторные диаграммы напряжений и токов строить на комплексной плоскости. Уравнения электрического состояния для цепи переменного тока в комплексной форме сходны с уравнениями электрического состояния для цепей постоянного тока. Благодаря этому анализ и расчет электрических цепей синусоидального тока с помощью комплексных чисел получил в практике широкое применение.

Сущность метода состоит в том, что в уравнениях электрического состояния мгновенные значения тока и напряжения на всех участках заменяют комплексными. Так, мгновенныезначения тока i и напряжения и заменяют комплексом тока и напряжения .Мгновенное значение напряжения u_R = Ri на резистивном участке с сопротивлением R заменяют комплексом , по фазе совпадающим с током . Мгновенное значение напряжения на участке с индуктивностью L заменяют комплексом . Оператор j здесь как множитель, указывает на то, что вектор напряжения повернут на угол +π/2 по отношению к вектору тока . Следовательно, если на комплексной плоскости вектор напряжения направлен по оси действительных значений (оси +1). то вектор тока направлен по мнимой оси -j. При этом, если вектор занимает любое другое положение на комплексной плоскости, вектор тока будет занимать по отношению к вектору U_L положение, определяемое углом -π/2.

Значение напряжения на емкостном элементе С заменяют комплексом - . Умножение на -j указывает на то, что напряжение на емкости по фазе отстает от тока на угол π/2.

ЗАПОМНИТЕ

Уравнения электрического состояния в комплексной форме

имеют вид: для ветви ; для узла для контура .

Контурное уравнение электрического состояния цепи при последовательном соединении элементов R, L и С, записанное в комплексной форме, имеет вид , откуда можно найти комплекс тока

где Z — комплексное сопротивление цепи.

Чтобы освободиться от мнимых составляющих комплексного числа в знаменателе, умножим и разделим правую часть уравнения на сопряженный комплекс сопротивления:

► В общем случае комплекс полного сопротивления Z в показательной форме состоит из модуля комплекса и аргумента φ, который определяется разностью углов начальных фаз напряжения ( ) и тока ( ), .

При параллельном соединении приемников (рис. 32) они находятся под общим напряжением .

В комплексной форме выражение для тока в неразветвленной части цепи согласно уравнению электрического состояния для узла 1 (или узла 2) имеет вид

или

.