Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Функции в алгебре логики

Читайте также:
  1. Foreign Office – структура, функции…..
  2. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  3. I. Функции государства — это основные направления его деятельности, в которых выражаются сущность и социальное назначение государства в обществе.
  4. III. Вегетативные функции НС.
  5. III. Функции полномочного представителя
  6. Internet, его функции. Web-броузеры. Поиск информации в Internet.
  7. IV. Культурно-воспитательные функции.
  8. SQL-функции
  9. V1: 2.Строение и функции органов и тканей полости рта
  10. Абсолютная и относительная погрешность вычисления функции одной переменной . Погрешность функции нескольких переменных

Функции и аргументы в алгебре логики определены на множестве {0, 1} и, следовательно, могут принимать только два значения. Как и в обычной алгебре, функции и аргументы обозначаются буквами выбранного алфавита. Все возможные комбинации значений аргументов называются наборами. Число наборов для N аргументов составляет 2N. На каждом наборе аргументов функция может принимать два значения, следовательно, для N аргументов можно получить 22N различных функций.

Рассмотрение понятия функции в алгебре логики (АЛ) можно начать с функций одной переменной х(N = 1). Она имеет 21 = 2 набора (0 и 1) и соответственно четыре функции yi (табл. 3.1).

 

Таблица 3.1
Функции одной переменной в АЛ

 

Переменная Функции
x y1 y2 y3 y4

 

Очевиден и содержательный смысл этих функций: y1 – константа нуля, y2 – повторение x, y3 – инверсия, x и y4 – константа единицы.

Для двух переменных может быть введено уже 16 функций (табл. 3.2). В табл. 3.3 дано условное обозначение логических элементов, реализующих эти функции.

 

Таблица 3.2
Функции двух переменных в АЛ

 

Переменные x1
x2
Функции  
f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12
f13
f14
f15

 

Функции двух переменных, рассмотренные в табл. 3.3, играют важную роль в алгебре логики и могут быть названы элементарными (рис 3.1).

К элементарным функциям обычно относят: функцию инверсии (отрицания), конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, штрих Шеффера и стрелку Пирса.

Таблица 3.3.
Содержательная таблица функций двух переменных в АЛ

 

Функция в аналитическом выражении Наименование Словесное выражение Выражение в элементарном базисе Функциональное обозначение
f0=0 Константа “0” Всегда ложно см.рис. 3.1, а
f1=x1&x2 Конъюнкция, И x1 и x2 см.рис. 3.1, б
f2=x1 x2 Запрет x1 Запрет по x2 см.рис. 3.1, в
f3=x1 Повторение x1 Повторение x1 см.рис. 3.1, г
f4=x2 x1 Запрет x2 Запрет по x1 см.рис. 3.1, д
f5=x2 Повторение x2 Повторение x2 см.рис. 3.1, е
f6=x1Åx2 Исключающее ИЛИ x1 неравнозначно x2 см.рис. 3.1, ж
f7=x1v x2 f7=x1+x2 Дизъюнкция, ИЛИ x1 или x2 см.рис. 3.1, з
f8=x1↓x2 Стрелка Пирса, ИЛИ-НЕ Отрицание дизъюнкции см.рис. 3.1, и
f9=x1~x2 Равнозначность, эквивалентность x1 равнозначно x2 см.рис. 3.1, к
f10=x2 Инверсия, отрицание x2 Не x2 см.рис. 3.1, л
f11=x2 x1 Импликация x1 Если x2, то x1 см.рис. 3.1, м
f12=x1 Инверсия, отрицание x1 Не x1 см.рис. 3.1, н
f13=x1 x2 Импликация x2 Если x1, то x2 см.рис. 3.1, о
f14=x1 x2 Штрих Шеффера, И-НЕ Отрицание конъюнкции см.рис. 3.1, п
f15=1 Константа “1” Всегда истинно см.рис. 3.1, р



Рис 3.1 Обозначение логических элементов



Для трёх переменных существует уже 23 = 8 наборов, дающих 256 логических функций. С целью получения новых функций можно использовать принцип суперпозиции, позволяющий подставлять одни функции вместо аргументов в другие функции. При этом возникает вопрос – какой номенклатурой логических элементов можно ограничиться, чтобы можно было реализовывать любые, сколь угодно сложные функции.

Система булевых функций называется функционально-полной, если произвольная булева функция вида f (x1, x2, ..., xn) может быть представлена суперпозицией конечного числа функций системы, а набор элементов реализующих данные функции – функционально полным набором или базисом.

В качестве простейших принято рассматривать следующие пять базисов:

1) дизъюнкция (xivxj), конъюнкция (xi&xj), инверсия ( );

2) дизъюнкция (xivxj), инверсия ( );

3) конъюнкция (xi&xj), инверсия ( );

4) стрелка Пирса (xi ↓xj = );

5) штрих Шеффера (xi  xj = ).

С точки зрения практической реализации булевых функций функциональная полнота этих базисов показывает, что произвольная логическая цепь, включая и ЭВМ, может быть построена из простых функциональных элементов, вплоть до случая элементов одного типа (например, Пирса или Шеффера). В действительности электронной промышленностью выпускается ограниченный, но заведомо избыточный набор логических элементов, что позволяет сократить общее число микросхем в конкретном логическом блоке за счет расширения номенклатуры.


Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 25; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА | Аксиомы и законы алгебры логики
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты