ФОРМЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Как уже указывалось, комплексное число Z может быть представлено в форме

Z = а + i b (10),

где а = Re Z и b = Im Z.

Такая форма представления комплексных чисел называется алгебраической.

Каждое комплексное число Z = а + ib может быть изображено на плоскости XOY точкой Z(a;b), координатами которой являются соответст-венно действительная и мнимая части этого числа (рис. 1).

Такое изображение комплексного числа называется его геометрической трактовкой (интерпретацией). В этом случае рассматриваемую плоскость называют плоскостью комплексной переменной или просто комплексной плоскостью.

ImZ Z (a;b)

Рис. 1

Z = а + i b; = а – i b.

Действительные числа Z = а + i0 изображаются точками на оси ReZ. Чисто мнимые числа Z = 0 + i b изображаются точками на оси ImZ. При этом ось ОХ называется действительной осью, а ось OY – мнимой.

Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком, называются комплексно-сопряжёнными и графически изображаются следующим образом:

– b a – i b

Рис.2

Для точек, соответствующих паре комплексно–сопряжённых чисел, ось ОХ является осью симметри́и.

Полярные координаты ρ и θ точки Z(a;b) называются соответственно модулем (или абсолютной величиной) и аргументом комплексного числа Z.

Они обозначаются:

ρ = ½Z½ (11)

θ = Аrg Z (12)

Здесь угол θ определён с точностью до слагаемого 2pk, где k – целое число. Значение аргумента Z, которое удовлетворяет двойному неравенству

– π φ π , (13)

называется главным значением аргумента Z и обозначается arg Z. Тогда получим:

Arg Z = arg Z + 2pk = φ + 2pk (14)

Если |Z|= 0, то в этом единственном случае аргумент считается неопределённым.

Между модулем и аргументом комплексного числа Z = а + ib и

его действительной и мнимой частями очевидны следующие соотношения (рис. 1):

а = | Z | cos θ = ρ cos θ (15)

b = | Z | sin θ = ρ sin θ (16)

Отсюда

ρ = | Z | = (17)

cos θ = = (18)

sin θ = = (19)

Очевидно, что вводя соответствие между точками на плоскости и комплексными числами, мы, тем самым, устанавливаем связь между соответствующими одной и той же точке комплексным числом и радиусом–вектором. Причём действительная и мнимая части комплексного числа будут определять проекции соответствующего радиуса–вектора на оси ОХ и ОУ, т. е. его координаты.

Подставляя (15) и (16) в (10), получим тригонометрическую формулу комплексного числа:

Z = ρ (cos θ + i sin θ) (20)

Пример 1.

Представить на комплексной плоскости число

Z₀= - 2 + i3.

Решение дано на рис. 3

Y

Рис. 3

Пример 2.

Представить число Z=– 1 в тригонометрической форме.

Решение:

Для числа Z = – 1 + i0

| Z | = 1; θ = ArgZ = p + 2pк.

Отсюда: –1 = cos (2к + 1) p + i sin (2к + 1) p

При к = 0это выражение принимает наиболее простой вид:

– 1 = cos p + i sin p или Z = cos p

Пример 3.

Представить в тригонометрической форме число

Z= 1 — i .

Решение:

ρ = | Z | = 2; cos θ = ; sin θ = – .

Угол φ находится в четвёртой четверти и поэтому

θ = ArgZ = – + 2pк; φ = arg Z = – .

С учётом cos ( – ) = cos и sin( – ) = – sin получим (при к = 0)

1 – i = 2 (cos – i sin ).

Пример 4.

По тригонометрической форме комплексного числа

Z = (cos + i sin )

получить алгебраическую форму.

Решение:

Здесь φ = arg Z= .

Тогда a = | Z | cos φ = cos = ∙ = 1,

b = | Z | sin φ = sin = ∙ = 1,

Z = a + ib = 1 + i