Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМАХ




Читайте также:
  1. В каких формах проявляется человеческая субъективность и каковы ее экзистенциональные характеристики?
  2. Критическая философия И. Канта. Учение об априорных формах сознания. Антиномии разума.
  3. ЛОГИКА - совокупность наук о законах и формах правильного мышления.
  4. Назовите устройства вывода пространственной информации в ГИС. В каких формах может осуществляться этот вывод? Охарактеризуйте указанные формы вывода пространственной информации.
  5. Основные сведения о формах
  6. Побудова полів зі списками у формах.
  7. Понятие о формах организации обучения
  8. ПРАВИЛА РАСПОЛОЖЕНИЯ БЛОКОВ ОСНОВНОЙ НАДПИСИ НА ФОРМАХ ДОКУМЕНТОВ
  9. Развитие речи в разных формах общения

Комплексные числа считаются равными, если равны соответственно их действительные и мнимые части. У равных комплексных чисел модули равны, а аргументы совпадают с точностью до слагаемого 2pк. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел смысла не имеют.

Сложение и вычитание комплексных чисел Z1 = a1 + i b1 и Z2 = a2+ i b2

(т. е. в алгебраической форме) производится следующим образом:

Z1 ± Z2 = (a1 + i b1) ± (a2 + i b2) = (a1 ± a2) + i (b1 ± b2).

Пример 1.

a) (4 + i 2) + (1 + i5) = (4 + 1) + i (2 + 5) = 5 + i 7.

b) (3 + i 5) – (6 + i З) = (3 – 6) + i (5 – 3) = – 3 + i 2.

 

Важно отметить, что результатом сложения комплексно-сопряжённых чисел оказывается действительное число, а результатом вычитания – мнимое.

Векторная трактовка геометрического смысла комплексных чисел позволяет особенно наглядно пояснить приведённые выше положения о сравнении комплексных чисел и правилах их сложения и вычитания. Так, например, сумма двух комплексных чисел Z1 = 4 + i 2 и Z2 = 1 + i 5 представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые

(см. рис. 4).

 
 

 

Z1 +Z2
Y

 
 

 

 


Z1

 
 


       
   
X
 

 


 
 
Здесь уместно вспомнить теорему о том, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций векторов–слагаемых на эту же ось.

Разность двух комплексных чисел Z = 3 + i5 и Z = 6 + iЗ представ

ляется разностью векторов, изображающих отдельные слагаемые (как показано на рис. 5).

 

 

Y
Z1 = 3 + i 5

Z1 – Z2 = -3 + i 2
Z2 = 6 + i 3

 
 


-3
-2
-1
 
X

Рис. 5

 

Перемножив комплексные числа Z1 = a1 + i b1 и Z2 = a2 + i b2 по правилу перемножения многочленов (с учётом i2 = – 1), получим:



(а1 + ib1) (а2+ ib2) = а1 а2 + а1 ib2 + ib1 а2 + ib1 ib2 =

= (а1 а2 b1 b2 ) + i ( а1 b2 + b1 а2)

Пример 2.

(3 + i)(5 - i2) = [3 5 – 1 (– 2)] + i [3(–2) + 1 5] = 17 – i.

Важно отметить, что произведение комплексно-сопряжённых чисел

Z = а + i b и = а – i b даёт сумму квадратов их действительной и мнимой частей:

(а + i b)(а – i b) = а2 + b2 (21)

Деление комплексных чисел осуществляется следующим образом:

= = = =

= = + i . (22) Пример 3.

Разделить число (3 – i 2) на число (– 4 + i).

Решение:

= =

= + i = – + i .

 

Производить умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме удобнее, чем в алгебраической.

Пусть Z1 = | Z1 | (cos φ1+ i sin φ1 ), Z2 = | Z2 | (cos φ2+ i sin φ2 ).

Тогда Z1 ∙ Z2 = | Z1 |∙| Z2 | [(cos φ1 ∙ cos φ2 - sin φ1 ∙ sin φ2) +

+ i (sin φ1 ∙ cos φ2 + cos φ1 ∙ sin φ2 )] =

= | Z1 || Z2 | [cos ( φ1 + φ2 ) + i sin ( φ1 + φ2 )]. (23)

Эта формула легко обобщается на случай умножения n комплексных чисел



Z1 · Z2 · ... · Zn =

=| Z1 |·| Z2 | …·| Zn |[(cos ( φ1 + φ2 + ...+ φn ) + i sin ( φ1 + φ2 + ...+ φn )]. (24)

Отсюда:

| Z1 · Z2 ·...· Zn| = | Z1 |·| Z2 |· ... ·| Zn |. (25)

arg (Z1 · Z2 ·...· Zn) = arg Z1 + arg Z2 + ... + arg Zn. (26)

Таким образом, при умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример 4. [ (cos + i sin )][ (cos – i sin )] =

= [ cos + i sin ] [ cos (– ) + i sin (– )] =

= [cos( ) + i sin( )] = 4(cos +i sin ).

Рассмотрим операцию умножения комплексных чисел с геометрической точки зрения. Сложение и вычитание комплексных чисел геометрически иллюстрируется как сложение и вычитание соответствующих векторов. Для

умножения и деления такой простой геометрической иллюстрации (с помощью соответствующих векторов) не получается. Зато можно легко дать геометрическую иллюстрацию умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

При умножении чисел Z1 = | Z1 | (cos φ+ i sin φ) и Z2 = 3(cos + i sin )

модуль вектора, соответствующего произведению Z1·Z2, получается из модуля вектора, соответствующего числу Z1, растяжением последнего в три раза и поворотом на угол (рис. 6).

 

Y

 

 

 
 

 

 


X

 

Рис. 6

 

Растяжение и поворот вектора при умножении обладают перемести-тельным свойством.

Чтобы комплексное число, заданное в тригонометрической форме, возвести в целую степень, достаточно модуль числа возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени:



Zn = | Z |n [cos(nφ)+ i sin(nφ)], (27)

т. е.

| Zn | = | Z |n и arg Zn = n·arg Z

(–1 + i)6 = [ (cos 135° + i sin 135°)]6 =

= ( )6 (cos 810°+ i sin 810°) = 8[cos(90° + 360°·2)+

+ i sin(90° + 360° · 2)] = 8[cos 90° + i sin 90°] =

= 8(0 + 1i) = 8i.

В частном случае при | Z | = 1 (cos φ + i sin φ)n =cos (n φ) + i sin (n φ) (28)

Равенство (28) называется формулой Муавра[13]. Используя формулу Муавра (28), формулу бинома Ньютона (1) и условие равенства комплексных чисел, можно получать формулы для косинуса и синуса кратных углов. Например, по формуле бинома Ньютона:

(cos φ + i sin φ)3 = cos3 φ + 3 cos2 φ i sin φ – 3 cos φ sin2 φ –

– i sin3 φ = (cos3 φ – 3cos φ sin2 φ) + i(3cos2 φ sin φ – sin3 φ ),

а по формуле Муавра:

(cos φ + i sin φ )3 = cos (3φ) + i sin(3φ).

Сравнивая результаты двух предыдущих вычислений, получим

cos Зφ + i sin 3φ = (cos3φ – 3cos φ sin2 φ ) + i(3 cos2 φ sin φ – sin3 φ).

По условию равенства комплексных чисел находим формулы тройных углов для косинуса и синуса: cos 3φ = cos3 φ – 3cos φ sin2φ

sin 3φ = 3 cos2 φ sin φ – sin3 φ.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме осуществляется следующим образом:

= = =

= =

 

= [cos(φ1 – φ2) + i sin(φ1– φ2)]. (29)

Т. е. модуль результата деления равен = (30),

а аргумент Arg = Arg Z1 – Arg Z2 = arg Z1– arg Z2 + 2pk, (31).

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, модуль делимого делится на модуль делителя, и из аргумента делимого вычитается аргумент делителя.

Делению комплексных чисел можно дать геометрическую интерпретацию, аналогичную интерпретации действия умножения, а именно: при делении одного комплексного числа на другое комплексное число, модуль вектора, соответствующий делимому, сжимается в число раз, равное модулю делителя, а сам вектор поворачивается в отрицательном направлении на угол, равный аргументу делителя.

Действие извлечения корня n-й степени из комплексного числа

Z = | Z |(cos θ + i sin θ)

адекватно возведению этого комплексного числа в степень :

w = = | Z | (cos + i sin ). (32)

Полагая в формуле (32) k = 0,1, 2,..., (n – 1). Получим n различных значений φ0, φ1,...., φ аргумента w. Все остальные возможные значения аргумента будут отличаться от перечисленных на числа, кратные 2p.

Важные замечания:

1. Если во всех предыдущих примерах с действиями над комплексными числами запись аргументов в виде θ или φ была несущественной, то при извлечении корня из комплексного числа его аргумент следует обязательно писать в форме θ = φ + 2pk.

2. При извлечении корня из модуля впереди ставится знак «+», т.к. корень любой степени из модуля – всегда величина неотрицательная.

3. Если , значение Arg Z не определено, а при оно определено с точностью до величины, кратной .

Пример 6.

Найти комплексное число w = .

Решение:

Т. к. – 1 = cos p + i sin p, то

w = (cos + i sin ) = + i .

w = (cos + i sin ) = cos p + i sin p = –1.

w = (cos + i sin ) = cos + i sin = – i .

Равенство (28) показывает, что модули всех корней одинаковы, а главные значения аргументов отличаются на числа, кратные . Отсюда виден способ геометрического решения задачи извлечения корня из комплексного числа. Для этого надо найти точки w (k = 0,1,..., n – 1), расположенные в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса . Для построения w0 достаточно найти на этой окружности точку, для которой arg w0 = = φ0. Полярные углы всех остальных точек можно получить после­довательными поворотами полярного радиуса 0w0 на угол .

Y
На рис.7 на комплексной плоскости геометрически найдено всё множество значений .

 
 

 


Рис. 7.

§ 4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВИДА Zn+ а = 0

Найдём все корни уравнения

Z + a = 0, где a = .

Перепишем исходное уравнение в виде

Z = .

В правой части осуществим деление комплексных чисел (1 + i 0) и (1 + i ) в алгебраической форме по формуле (22):

= + i = – i .

Перейдём к тригонометрической форме по формулам (11) – (13):

 

= = = ,

cos φ = = ; sin φ = – = – = – ,

т. к. cos φ > 0 и sin φ < 0, то φ – угол четвёртой четверти.

Зададимся точностью конечного результата в 0,01, это значит, что в промежуточных расчётах необходимо иметь три знака после запятой.

Arg Z = arccos + 2pk » 0, 955 + 2pk,

Z = [cos(– 0,955 + 2pk) + i sin(– 0,955 + 2pk)],

Z = (cos + i sin ) =

= 0,872[cos(– 0,239 + 1, 571·k) + i sin(– 0,239 + 1,571·k)]

Z = 0,872[cos(– 0,239) + i sin(– 0,239)] = 0, 872[0,972 + i (– 0,237)] =

= 0,848 – i 0,207 » 0,85 – i 0,21

Здесь целесообразно напомнить, что аргументы синуса и косинуса измерялись в радианной мере. Чтобы вычислить значение аргумента φ0 в градусной мере, необходимо воспользоваться соотношением

φ0 = » –13, 7 .

Итак, модуль каждого из четырёх корней уравнения равен 0,87, а разница ∆φ между аргументами корней составляет

∆ φ = = 90 .

Геометрическое решение имеет вид, представленный на рис. 8

                                           
   
 
 
 
   
Y
 
     
 
 
   
Z2
 
     
 
∆φ
 
     
 
   
0,87 0, 0,87
     
Z0
 
 
   
Z3

Рис. 8

 

Геометрическое решение даёт наглядную картину распределения корней на комплексной плоскости, но не является точным, поэтому требуется аналитическое решение поставленной задачи:

Z = 0,872[cos(– 0,239 + 1,571·1) + i sin(– 0,239 + 1,571·1)] =

= 0,965[cos 1,332 + i sin1,332] = 0,872(0,237 + i 0,972) = 0,207 + i 0,848 »

» 0,21 + i 0,85.

Z2= 0, 872[cos(– 0,239 + 1,571·2) + i sin(– 0,239 + 1,571·2)] =

 

= 0, 872[cos 2,903 + i sin 2,903] = 0, 872(– 0,972 + i 0,236) »

» – 0,848 + i 0,206 » – 0,85 + i 0,21.

Z3 = 0, 872[cos(– 0,239 + 1,571· 3) + i sin(– 0,239 + 1,571· 3)] =

= 0, 872[cos4, 474 + i sin4,474] = 0,872[– 0,236 + i (- 0,972)] =

= – 0,206 – i 0,848 » – 0,21 – i 0,85.

Итак,

Z » 0,85 – i 0,21

Z1» 0, 21 + i 0,85.

Z2» – 0, 85 + i 0,21.

Z3» – 0, 21 – i 0,85.


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 27; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.06 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты