Приведем полученное выражение к общему знаменателю

R₂ + R₄ + (L₂ + R₂R₄C₂)p + L₂R₄C₂p²

Z(p) =

(R₂ + R₄ + L₂p)C₂ p

Приравняв числитель нулю, получим характеристическое уравнение

L₂C₂R₂p² + (L₂ + R₂R₄C₂)p +R₂ + R₄ = 0.

Для нахождения корней характеристического составлям вектор коэффициентов

V = [R₂ + R₄ L₂ + R₂R₄C₂ L₂C₂R₂]^T.

С помощью программы polyroots(V) находим корни характеристического уравнения: Для данного примера

p_1,2 = - 3*10³ + 2.293*10³j.

Отсюда находим длительность переходного процесса

t_п =4/3*10³ = 2*10^-3 С.

Составляются уравнения Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений:

e = u₈ + R₂ i₅,

_- e = L₂ di₂/dt – u₈ + R₄ i₄ – R₃ i₃

- i₈ +i₂ – i₅ – i = 0

- i₈ + i₄ – i₅ = 0.

Преобразовав эту систему к матричной форме, получим уравнения по методу пространства состояний

di₂/dt - R₄/L₂ 1/L₂ i₂ - 1/L₂ R₄/L₂ e(t)

X = = +

Du₈/dt - 1/C₂ 1/R₂C₂ u₈ 1/R₂C₂ 1/C₂ i(t)

Образуем матрицу D2, перемножив матрицы в правой части этого уравнения

- R₄/L₂* X₁ + 1/L₂ * X₂ – 1/L₂ * e(t) + R₄/L₂ * i(t)

D2 =

- 1/C₂ *X₁ – 1/R₂C₂ * X₂ + 1/R₂C₂ *e(t) + 1/C₂ * i(t) ,

где X₁ = i₂, X₂ = u₈,

e(t) = E_msin(2512t +y_e),

i(t) = I_msin(2512t + yi).