Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Глава 8. Вычисление размерных коэффициентов аналитических моделей объектов и систем по результатам однофакторного эксперимента.

Читайте также:
  1. C2 Покажите на трех примерах наличие многопартийной политической системы в современной России.
  2. CASE-технология создания информационных систем
  3. CASE-технология создания информационных систем.
  4. ERP система
  5. GPSS World – общецелевая система имитационного моделирования
  6. I.2.3) Система римского права.
  7. II 6.2. Вычисление
  8. II. Организм как целостная система. Возрастная периодизация развития. Общие закономерности роста и развития организма. Физическое развитие……………………………………………………………………………….с. 2
  9. II. Системы, развитие которых можно представить с помощью Универсальной Схемы Эволюции
  10. II.5.1) Понятие и система магистратур.

Как уже отмечалось, задачей эксперимента является получение данных необходимых для установления математической модели (аналитической зависимости), описывающей характеристику устройства или системы, которая в общем виде записывается

y = f (x1,x2,...,xr) + ε, (8.1)

где y – выходная характеристика устройства или системы; x1, x2,..., xr – входные сигналы и внешние факторы, определяющие поведение устройства или системы, ε – случайная “остаточная” составляющая. Наличие случайной составляющей ε в уравнении (8.1) обусловлено причинами двоякой природы: во-первых, она отражает влияние на формирование значений y факторов, не учтенных в перечне переменных xi; во-вторых, она может включать в себя случайную погрешность в измерении выходной характеристики y.

Установление математической модели включает в себя выбор вида математической модели и определение ее параметров (коэффициентов, показателей степени и т.п.). Объективный анализ связи между величинами в значительной степени должен основываться на статистических методах.

Для решения задачи построения математической модели системы используется статистический метод обработки наблюдений – метод регрессионного анализа.

В схеме регрессионного анализа предполагается, что независимые переменные (факторы) xi являются неслучайными величинами, значения которых задаются заранее, перед началом эксперимента; зависимая переменная y – случайная величина.

Нас интересует только среднее значение y при заданных xi , т.е. функциональная зависимость условного среднего значения функции отклика y (при условии, что факторы xi , , фиксированы) от xi:

= f(x1, x2,..., xr, b0, b1, b2, …).

Предполагается, что математическое ожидание, от случайной составляющей ε в уравнении (8.1) равно нулю: M[ε] = 0.

В регрессионном анализе вид функции предполагается известным и по результатам эксперимента нужно значения неизвестных коэффициентов модели b0, b1, b2,… При выборе вида кривой регрессии следует использовать экспертные оценки, т.е. совокупность сведений профессионального характера об изучаемом реальном устройстве или системе.

Обоснованное применение регрессионного анализа требует выполнения ряда предпосылок:

1) при каждых значениях xi, , величина y распределена нормально;



2) дисперсия D[y(x)] величины y постоянна:D[y(x)] = σ2, где σ = const.

3) наблюдения являются стохастически независимыми.

4) факторы не должны быть линейно связаны с другими независимыми переменными.

Замечание. Третье условие регрессионного анализа часто нарушается при использовании времени в качестве одного из факторов.

Существует много разнообразных методов обработки результатов эксперимента. Обоснованный и точный выбор метода для оценки параметров математической модели опирается на знание вероятностной природы (типа закона распределения) остатков ε в модели (8.1). Если при любых значениях xi, , распределение вероятностей остатков ε описывается нормальным законом, и остатки ε(xi) статистически независимы, то наилучшие оценки для параметров получаются при применении метода наименьших квадратов.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для определения коэффициентов b0 и b1 линейной функции отклика с одним фактором вида

y = b0 + b1 x . (8.2)

Если бы все экспериментальные точки лежали строго на прямой линии, то для каждой из них было бы справедливо равенство



yib0b1 xi = 0, (8.3)

где i = 1, 2, ... , n – номер опыта. На практике это неравенство нарушается и вместо него используется:

yib0b1 xi = xi , (8.4)

где xi – разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениями y в i-ой экспериментальной точке, эту величину называют невязкой.

Необходимо найти такие коэффициенты регрессии, при которых невязки будут минимальны. Выражение минимизации невязки

(8.5)

приводит к методу наименьших квадратов (МНК). Уравнение регрессии содержит два неизвестных коэффициента. Значит, применяя МНК, получим два уравнения. Соотношение (8.5) запишем в следующем виде:

(8.6)

Минимум функции достигается при одновременном равенстве нулю частных производных по всем неизвестным:

(8.7)

Из соотношения (8.6) с учетом (8.7) получаем уравнения для определения коэффициентов функции отклика

(8.8)

если раскрыть скобки, то получим

(8.9)

Окончательно формулы для вычисления коэффициентов регрессии имеют вид

, (8.10)

.

 

График аппроксимирующего линейного полинома представлен на рис.2. Экспериментально полученные результатам обозначены кружками.

 

Рис. 2.

 


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 20; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Порядок | Глава 9. Обобщение методов вычисления размерных коэффициентов аналитических моделей объектов и систем на многофакторный эксперимент.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.017 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты