Тақырып. ҚАТТЫ ДЕНЕ МЕХАНИКАСЫ

квадратына көбейтінділерінің қосындысына тең физикалық шама жүйенің айналу осіне қатыстыинерция моментідеп аталады: . Инерция моменті – аддитивтік шама: қатты дененің инерция моменті оның құрамдас бөліктерінің инерция моменттерінің қосындысына тең.

12-сурет

Массаның үздіксіз таралуында бұл қосынды дененің толық көлемі бойынша: ,

мұндағы дененің берілген нүктедегі тығыздығы, дененің қозғалмайтын айналу осінен қашықтықта көлемі өте кішкентай элементінің массасы. Біртекті дене үшін ( ): .

Штейнер теоремасы:

Дененің кез келген қозғалмайтын айналу осіне қатысты инерция моменті сол оське параллель массалар центрінен өтетін оське қатысты инерция моменті мен дене массасының осы осьтердің арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең болады:

(45)

Абсолют қатты дененің өзінің көлемінен өтетін қозғалмайтын айналу осіне қатысты (13-сурет). қашықтықта орналасқан массалары

элементар бөліктерден құралған деп ұйға-рылсын. Қатты дене қозғалмайтын айналу осіне қатысты айналғанда

оның элементар бөліктері әртүрлі сызықты жылдамдықпен радиустары шеңберлер сызады. Олардың бұрыштық жылдамдықтары бірдей болатынын ескеріп: , (46) дененің кинетикалық энергиясын масса-лары бөліктерінің кине- тикалық энергияларының қосындысы

13-сурет

түрінде өрнектегенде:

, немесе .

Cызықтық жылдамдықты бұрыштық жылдамдықпен алмастырғанда, осі маңында айналатын қатты дененің кинетикалық энергиясы:

(47)

мұндағы – дененің айналу осіне қатысты инерция моменті.

Берілген О нүктеден күштің А түсу нүктесіне жүргізілген радиус-вектор мен күш векторының векторлық көбейтіндісіне тең физикалық шама қозғалмайтын О нүктесіне қатысты күш моментідеп аталады (14-сурет). (48) Күш моменті векторының модулі , мұндағы -берілген және арасындағы бұрыш, -күш иіні. Күш моментінің векторы сағат тілініңбағытыменбұранданың векторынан векторына қарай айналдыра бұраған кездегі ілгерілемелі қозғалысына сәйкес псевдовектор. Қозғалмайтын айналу осіне қатысты күш моменті берілген осьтің бойында жатқан кез келген Онүктесіне қатысты анықталған күш моменті векторының осы оське жүргі-зілген проекциясына тең скалярлық шама (15-сурет).

15-сурет

Мұнда -күш бағыты мен радиус-вектор арасындағы бұрыш. Денені абсолют қатты деп есептегенде, осы күштің жұмысы дене бұрылғандағы атқарылған жұмысқа тең болады. Дене шексіз аз бұрышқа бұрыл-ғанда В нүктесі жол өтіп, орындалған жұмыс күштің ығысу бағытына проекциясын ығысу шамасына көбейткенге тең: . (49)

16-сурет

Дененің айналу кезіндегі атқарылған жұмыс оның кинетикалық энергиясының артқан шамасына тең болатынын ескерсек,

; . Осыдан: , немесе . . (50)

Осы өрнек қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты айналмалы қозғалысының негізгі теңдеуідеп аталады. Айналу z осі дененің масса-лар центрінен өтетін бас инерциялық осьпен дәл келгенде, теңдеу векторлы түрде жазылады:

, (51)

Қозғалмайтын О нүктеден материалдық нүктеге жүргізілген радиус-вектор мен осы материалдық нүктенің импульсінің векторлық көбей-

тіндісіне тең физикалық шама материалдық нүктенің қозғалмайтын О нүктеге қатысты импульс моменті деп аталады (17-сурет).

. (52)

Импульс моменті векторының модулі: , мұндағы - берілген және векторларының арасындағы бұрыш, - импульс иіні.

Материалдық нүктенің қозғалмайтын осіне қатысты импульс моменті-берілген осьтің бойындағы кез келген О нүктесіне қатысты анықталған импульс моменті векторының осы оське жүргізілген проекциясына тең скалярлық шама (18-сурет).

Абсолют қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты импульс моменті оның жеке бөлшектерінің сол оське қатысты импульс моменттерінің қосындысына тең:

. (53)

Сызықтық жылдамдықты бұрыштық жылдамдықпен алмастырғанда:

.

Теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдағанда:

, немесе: . (54)

Осы формула - қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты айналмалы қозғалысы теңдеуініңтағы бір түрі: қатты дененің қозғалмайтын айналу осіне қатысты импульс моментінің уақытпен алынған туындысы осы оське қатысты күш моментіне тең.

Егер z айналу осі дененің массалар центрінен өтетін бас инерциялық осьпен дәл келсе, теңдеу векторлы түрге көшеді:

. (55)

Тұйық жүйеде сыртқы күштердің моменті және . Осыдан:

, (56)

яғни, механикалық тұйық жүйенің импульс моменті тұрақты болады(импульс моментінің сақталу заңы).

Бұл заң кеңістіктің симметриялық қасиеті – изотроптылықпен байланысты.