Тақырып. ҚАТТЫ ДЕНЕ МЕХАНИКАСЫ
квадратына көбейтінділерінің қосындысына тең физикалық шама жүйенің айналу осіне қатыстыинерция моментідеп аталады:
.
Инерция моменті – аддитивтік шама: қатты дененің инерция моменті оның құрамдас бөліктерінің инерция моменттерінің қосындысына тең.
| | Механикалықжүйенің материалдық нүктелерінің массаларының олардың қозғалмайтын айналу осіне дейінгі арақашықтықтарының
12-сурет
Массаның үздіксіз таралуында бұл қосынды дененің толық көлемі бойынша: ,
мұндағы дененің берілген нүктедегі тығыздығы, дененің қозғалмайтын айналу осінен қашықтықта көлемі өте кішкентай элементінің массасы. Біртекті дене үшін ( ): .
Штейнер теоремасы:
Дененің кез келген қозғалмайтын айналу осіне қатысты инерция моменті сол оське параллель массалар центрінен өтетін оське қатысты инерция моменті мен дене массасының осы осьтердің арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең болады:
(45)
Абсолют қатты дененің өзінің көлемінен өтетін қозғалмайтын айналу осіне қатысты (13-сурет). қашықтықта орналасқан массалары
элементар бөліктерден құралған деп ұйға-рылсын. Қатты дене қозғалмайтын айналу осіне қатысты айналғанда
13-сурет
түрінде өрнектегенде:
, немесе .
Cызықтық жылдамдықты бұрыштық жылдамдықпен алмастырғанда, осі маңында айналатын қатты дененің кинетикалық энергиясы:
(47)
мұндағы – дененің айналу осіне қатысты инерция моменті.
14-сурет
15-сурет
Мұнда -күш бағыты мен радиус-вектор арасындағы бұрыш. Денені абсолют қатты деп есептегенде, осы күштің жұмысы дене бұрылғандағы атқарылған жұмысқа тең болады. Дене шексіз аз бұрышқа бұрыл-ғанда В нүктесі жол өтіп, орындалған жұмыс күштің ығысу бағытына проекциясын ығысу шамасына көбейткенге тең: . (49)
| | Қатты дененің айналуында атқарылатын жұмысты анықтайық. В – қозғалмайтын z осінен r қашықтықта күштің түсу нүктесі (16-сурет).
16-сурет
Дененің айналу кезіндегі атқарылған жұмыс оның кинетикалық энергиясының артқан шамасына тең болатынын ескерсек,
; . Осыдан: , немесе . . (50)
Осы өрнек қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты айналмалы қозғалысының негізгі теңдеуідеп аталады. Айналу z осі дененің масса-лар центрінен өтетін бас инерциялық осьпен дәл келгенде, теңдеу векторлы түрде жазылады:
, (51)
Қозғалмайтын О нүктеден материалдық нүктеге жүргізілген радиус-вектор мен осы материалдық нүктенің импульсінің векторлық көбей-
17-сурет 18-сурет
тіндісіне тең физикалық шама материалдық нүктенің қозғалмайтын О нүктеге қатысты импульс моменті деп аталады (17-сурет).
. (52)
Импульс моменті векторының модулі: , мұндағы - берілген және векторларының арасындағы бұрыш, - импульс иіні.
Материалдық нүктенің қозғалмайтын осіне қатысты импульс моменті-берілген осьтің бойындағы кез келген О нүктесіне қатысты анықталған импульс моменті векторының осы оське жүргізілген проекциясына тең скалярлық шама (18-сурет).
Абсолют қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты импульс моменті оның жеке бөлшектерінің сол оське қатысты импульс моменттерінің қосындысына тең:
. (53)
Сызықтық жылдамдықты бұрыштық жылдамдықпен алмастырғанда:
.
Теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдағанда:
, немесе: . (54)
Осы формула - қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты айналмалы қозғалысы теңдеуініңтағы бір түрі: қатты дененің қозғалмайтын айналу осіне қатысты импульс моментінің уақытпен алынған туындысы осы оське қатысты күш моментіне тең.
Егер z айналу осі дененің массалар центрінен өтетін бас инерциялық осьпен дәл келсе, теңдеу векторлы түрге көшеді:
. (55)
Тұйық жүйеде сыртқы күштердің моменті және . Осыдан:
, (56)
яғни, механикалық тұйық жүйенің импульс моменті тұрақты болады(импульс моментінің сақталу заңы).
Бұл заң кеңістіктің симметриялық қасиеті – изотроптылықпен байланысты.
|