Расчет на прочность

Плоским (прямым) поперечным изгибом балки называется изгиб, при котором все внешние нагрузки действуют в одной из главных пло­скостей инерции балки, причем проекции внешних сил и реакций опор на ось балки равны нулю. В этом случае отличны от нуля только две из шести внутренних сил: внутренняя поперечная сила Q_y и внутренний изгибающий момент M_z., действующий в этой же плоскости, где приложены внешние силы (рис. 23).

Рис. 23. Внутренние силы в поперечном сечении балки:

поперечная сила Q_y(х) и изгибающий момент M_z.(х)

Эти внутренние силы определяются методом сечений из условий статического равновесия части балки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения, под действием внешней нагрузки и искомых внутренних сил, действующих со стороны отброшенной части балки. Условия статического равновесия сводятся к двум уравнениям статики: равенстве нулю суммы проекций на ось у всех сил (ΣY = 0) и равенстве нулю суммы моментов в сечении х всех сил (Σm_x = 0).

Для балки (см. рис 23) поперечная сила Q_y(х) и изгибающий момент M_z.(х) определяются из двух уравнений статического равновесия:

ΣY = F – q∙a –- Q_y(х) = 0,

откуда

Q_y(х) = F – q∙a, (2)

(3)

При выполнении условий (2) и (3) все остальные условия статического равновесия удовлетворяются автоматически, т. е. никаких других внутренних сил при плоском изгибе не возникнет.

Из (2) и (3) видим, что внутренняя поперечная сила Q_y(х) в сечении x численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Аналогично, внутренний изгибающий момент M_z(х) в сечении х численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для того, чтобы внутренние силы определялись однозначно и независимо от того, равновесие какой части балки рассматривается, вводят правило знаков для Q_y(х) и M_z(х).

Если внешняя сила (F, q) стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести сечения x по ходу часовой стрелки, то ее вклад во внутреннюю силу Q_y(х) положителен, если против хода часовой стрелки – отрицателен (рис. 24).

Рис. 24. Определение знака поперечной силы Q_y(х)

Если внешняя сила (F, q, M) стремится изогнуть часть балки относительно центра тяжести сечения х выпуклостью вниз (сжатое волокно сверху), то ее вклад во внутренний момент M_z(х) положителен; если выпуклостью вверх (сжатое волокно снизу) – отрицателен (рис. 25).

Рис. 25. Определение знака изгибающего момента M_z(х)

Направим ось абсцисс (ox) системы координат слева направо вдоль оси балки. Тогда внутренние усилия Q_y(х), M_z(х) в поперечных сечениях и внешняя распределенная нагрузка q будут функциями x. Они связаны дифференциальными соотношениями:

(4)

(5)

(6)

Здесь q(х) считается положительной, если она направлена вверх. Эти соотношения следует использовать при проверке правильности построения эпюр Q_y(х) и M_z(х).

Внутренний изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, которые распределяются по высоте сечения неравномерно, вызывая растяжение одной его части и сжатие другой.

Условие прочности по нормальным напряжениям для балки любой формы поперечного сечения имеет вид

(7)

где M_z – изгибающий момент в опасном сечении балки, Н∙м;

I_z – момент инерции поперечного сечения, м⁴;

y_max – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки

поперечного сечения, м.

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси z, условие прочности преобразуется к виду

, (8)

где W_z – осевой момент сопротивления поперечного сечения, м³.

На основании соотношений (7), (8) W_z определяется по формуле

Поперечная сила Q_y(х), вектор которой лежит в плоскости поперечного сечения, вызывает в точках сечения касательные напряжения τ_xy. По закону парности касательных напряжений на продольных площадках возникают равные им напряжения τ_yх = τ_xy = τ._..

Напряжения τ_xy возникают вследствие деформации среза поперек продольных волокон балки, а напряжения τ_yх вызваны деформацией сдвига продольных волокон вдоль балки.

Для балок постоянного поперечного сечения при допущении, что касательные напряжения τ_. по ширине сечения b распределены равномерно, касательные напряжения при изгибе определяются по формуле Журавского:

,

где – статический момент относительно оси z отсеченной части сечения;

b – ширина сечения;

I_z – осевой момент инерции сечения.

Интенсивность сдвигающих усилий Т (погонная сдвигающая сила) определяется равенством

.

Касательные напряжения распределяются по сечению неравномерно, достигая максимального значения на нейтральной оси. Как показывают расчеты, в балках, поперечные размеры которых много меньше их длины, касательные напряжения в поперечных сечениях значительно меньше нормальных, поэтому, если балка изготовлена из изотропного материала, то при записи условия прочности касательные напряжения можно не учитывать, именно поэтому σ_экв ≈ σ.

6.1.1. Построение эпюр внутренних сил Q_y и M_z

 

Эпюрой внутренней силы называется график ее изменения вдоль оси балки. Из определения внутренней поперечной силы Q_y(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, имеется скачок на эпюре Q_y(х) на величину этой силы. Аналогично из определения внутреннего изгибающего момента M_z(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложен внешний изгибающий момент, – скачок на эпюре M_z(х) на величину этого момента. Под внешними силами и моментами мы подразумеваем и реакции опор.

При проверке правильности построения эпюр Q_y(х) и M_z(х) можно использовать табл. 6, составленную на основании дифференциальных соотношений (4) – (6). В этой таблице указана связь между знаками интенсивности распределенной нагрузки q(x), поперечной силы Q_y(х) и характером изменения эпюр Q_y(х) и M_z(х) .

Таблица 6

Правила построения эпюр Q_y(х) и M_z(х) , основанные

на дифференциальных зависимостях между q, Q_y(х), M_z(х)

Распреде-ленная нагрузка q, кН/м	Поперечная сила Qy, кН	Изгибающий момент Mz, кН∙м
q=0	Поперечная сила постоянна	Изгибающий момент изменяется по линейному закону
	Момент постоянный ______
+	Момент возрастает
_	Момент убывает
q >0	Поперечная сила возрастает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вниз
	Момент принимает экстремальное значение Mmin
+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вниз
_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вниз
q < 0	Поперечная сила убывает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вверх
	Момент принимает экстремальное значение Mmax
+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вверх
_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вверх