Определение перемещений при плоском изгибе

Перемещения при плоском изгибе характеризуются прогибом y и углом поворота поперечного сечения φٕ, величины которых определяются из универсального уравнения изогнутой оси балки:

,

где y₀, φ₀ – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;

a, b – расстояние от начала координат до сечения, в котором

приложен внешний силовой фактор (F и m или опорная реакция);

с – расстояние от начала координат до начала приложения

распределенной нагрузки;

d – расстояние от начала координат до конца приложения

распределенной нагрузки (начала приложения компенсирующей распределенной нагрузки q_к);

x – абсцисса рассматриваемого сечения.

При использовании универсального уравнения начало координат всегда выбирается на левом конце балки. Это уравнение получено путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения упругой линии балки:

где изгибающий момент в сечении x.

Поэтому знаки у слагаемых, включающих F, m и q, будут определяться по правилу знаков для изгибающего момента при рассмотрении равновесия левой части балкой. По этой же причине в уравнения включаются только те силовые факторы, которые находятся слева от сечения с координатой x. Если распределенная нагрузка q не действует до правого конца балки, ее действие надо продолжить до этого конца и, соответственно, приложить равнозначную компенсирующую нагрузку q_к, которая учитывается в уравнении с противоположным основной qзнаком. На эту особенность надо обратить внимание, так как при построении эпюр Q и Mтакой необходимости не возникало. Начальные параметры y₀ и φ₀ определяются из условия, что на опорах прогибы равны нулю (см. далее прим. 7).

Для проверки правильности построения упругой линии балки можно использовать соответствие знака кривизны упругой линии и знака . Если >0, то на этом участке выпуклость упругой линии будет направлена вниз, и наоборот.

Пример 7

Определить прогибы в характерных сечениях балки (рис. 30) и построить ее изогнутую ось.

Построение эпюр Q и M, а также подбор сечения балки проделайте самостоятельно. Принимается двутавр № 16, , .

Начало координат выбираем в крайнем левом сечении балки (на опоре С). Балка имеет три участка нагружения: I, II, III (см. рис. 30). Распределенная нагрузка q действует только на участке II. Доводим распределенную нагрузку q до конца балки и на этом участке III показываем компенсирующую (уравновешивающую) нагрузку.

Составим уравнение прогибов:

.

Рассматриваемая балка имеет три участка нагружения. В уравнении прогибов отмечены участки, на которых учитывается каждый из силовых факторов. Слагаемые уравнения от соответствующего внешнего фактора имеют такой же знак, как и при определении изгибающего момента.

Начальные параметры y₀ и φ₀ определим из условий, что на опорах балки прогибы равны нулю.

Рис. 30. Определение перемещений для двухопорной балки

При x = 0 .

При x = 3 м ,

откуда а

Положительное значение откладывается против хода часовой стрелки.

Определим прогибы в некоторых сечениях балки.

При

Величину прогиба при определите самостоятельно (получится ).

В межопорной части балки максимальный прогиб будет примерно посередине пролета.

При х = 1,5 м ,

При х =4,0 м

В некоторых случаях начало координат может быть выбрано на свободном конце балки. В этом случае и Если начало координат в опорном защемлении, то и