Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Повторение испытаний. Формула Бернулли




Читайте также:
  1. III. Повторение изученных случаев табличного сложения и вычитания.
  2. IV. Повторение и закрепление изученного на предыдущем уроке материала.
  3. IV.1.3. Формула Клина
  4. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
  5. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Распределение Максвелла - Больцмана.
  6. Барометрическая формула: .
  7. Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений
  8. Вывод уравнения Бернулли
  9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
  10. Гіпотеза й формула де Брoйля. Дослідне обґрунтування корпускулярно-хвильового дуалізму речовини

Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз.

Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Яков Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик)

 

Пусть в результате п независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны.

Если в результате п опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные п-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в п испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из п элементов по т. Это количество сочетаний находится по формуле:

Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли:

 

Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей.

 

Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

 

Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.

Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие с вероятностью р наступает ровно п раз.



 

 

В случае пяти попаданий из пяти возможных:

 

Четыре попадания из пяти выстрелов:

 

Три попадания из пяти:

 

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

Тестовые вопросы для самоконтроля:

1. Схема Бернулли это:

а) схема повторных испытаний

б) единичное событие в) независимое событие

2. При больших nикискомую вероятность можно вычислить по формуле:

а) Бернулли б) Пуассона в) Лапласа

3.При больших nи маломpдля нахожденияискомой вероятности применяем формулу:

а) Бернулли б) Пуассона в) Лапласа

4. Определите наивероятнейшее число выпадений цифры при 5 бросаниях монеты:

а) m0 =2 б) m0 =3 в) m0 /= 2, m0//=3

5. В университете 1095 студентов. Какова вероятность, что 1 января является днем рождения 5 студентов?

а) 0,5 б) 0,1008 в) 0,1095

 

Рекомендуемая литература

Основная:

1. Общий курс высшей математики для экономистов [Текст]: Учебник /Под ред. В. И. Ермакова.- М.: Инфра-М, 2008.- 656 с.- Гриф МО

2. Тырсин, А. Н. Математика.Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учебное пособие/ А. Н. Тырсин.- Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2007.- 235 c.



Дополнительная:

1. Сборник задач по высшей математике для экономистов [Текст]: Учебное пособие.- 2-е изд., испр.- М.: Инфра-М, 2008.- 574 с.- Гриф УМО

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 21; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.029 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты