Автокорреляционная функция

Так как коэффициент ρ(τ) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость ρ(τ) – автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда х_t (t=1,2,…,n) автокорреляционная функция ρ(τ) зависит только от лага τ, причем ρ(-τ) = ρ(τ), т.е. при изучении ρ(τ) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений τ.

Статистической оценкой ρ(τ) является выборочный коэффициент автокорреляции r_τ, определяемый по формуле коэффициента корреляции, в которой х_i = х_t, у_i = х_t+τ, а п заменяется на п-τ:

(4)

Функцию r_τ называют выборочной автокорреляционной функцией, а её график – коррелограммой.

При расчете r_τ следует помнить, что с увеличением τ число п-τ пар наблюдений х_t , х_t+τ уменьшается, поэтому лаг τ должен быть таким, чтобы число п-τ было достаточным для определения r_τ . Обычно ориентируются на соотношение τ≤п/4.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага τ взаимосвязь членов временного ряда х_t и х_t+τ ослабевает и автокорреляционная функция ρ(τ) должна убывать (по абсолютной величине). В то же время для её выборочного (эмпирического) аналога r_τ , особенно при небольшом числе пар наблюдений п-τ, свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании τ может нарушаться.

Пример 1.По данным таблицы 1 для временного ряда у_t найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов τ =1;2).

Р е ш е н и е. Среднее значение временного ряда находим по формуле (1)

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (2), но в данном случае проще использовать соотношение

= 92 478,38-296,88²= 4343,61;

s_t = = 65.31 (ед)

где =

= 92 478,38

Найдем коэффициент автокорреляции r_τ временного ряда (для лага τ =1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений у_t и у_t+1 (t=1,2,…,7):

Вычисляем необходимые суммы:

= 213+171+291+309+317+362+351=2014

=213²+171²+291²+309²+317²+362²+351²=609 506

=171+291+309+317+362+351+361=2162

=171²+291²+309²+317²+362²+351²+361²= 694 458

= 213*171+171*291+291*309+309*317+317*362+362*351+351*361= = 642 583

Теперь по формуле (4) вычисляем коэффициент автокорреляции

=0,725

Вычисление коэффициента автокорреляции r₂ временного ряда у(t) для лага τ =2, т.е. коэффициента корреляции между последовательностями шести пар наблюдений у_t и у_t+2(t=1,2,…,6) провести самостоятельно.

= 213+171+291+309+317+362 =1663

=213²+171²+291²+309²+317²+362²=486 305

= 291+309+317+362+351+361=1991

= 291²+309²+317²+362²+351²+361²= 665217

= 213*291+171*309+291*317+309*362+317*351+362*361 = 560876

Теперь по формуле (4) вычисляем коэффициент автокорреляции

=0,842

Знание автокорреляционной функции r_τ может оказать существенную помощь при подборе модели анализируемого временного ряда и статистической оценке её параметров.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называют временным рядом?
2. Что представляет собой сезонная компонента?
3. Что представляет собой тренд
4. Что представляет собой циклическая компонента
5. Что представляет собой случайная компонента
6. Что является классической задачей при исследовании экономических временных рядов?
7. Какие ряды называют стационарными? Назовите их характеристики.
8. Какой вид имеет автокорреляционная функция?

9. Что называют выборочной автокорреляционной функцией? Как называется её график?

Рекомендуемая литература

Основная:

1. Тырсин, А. Н. Математика.Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/ А. Н. Тырсин.- Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2007.- 235 c.

Дополнительная:

1. Общий курс высшей математики для экономистов [Текст]: Учебник /Под ред. В. И. Ермакова.- М.: Инфра-М, 2008.- 656 с.- Гриф МО

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов [Текст]: Учебное пособие.- 2-е изд., испр.- М.: Инфра-М, 2008.- 574 с.- Гриф УМО