![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теоремы теории игр для парных матричных игр с нулевой суммойТеорема 6.1. (Основная теорема ТИ) Всякая конечная игра имеет цену, и у каждого игрока существует, по крайней мере, одна оптимальная стратегия. Теорема 6.2. В матричной игре нижняя цена игры не превосходит верхней цены игры, то есть Определение 6.4. Смешанной стратегией первого (второго) игрока называется вектор Теорема 6.3. Игра с седловой точкой имеет оптимальное решение в чистых стратегиях. Теорема 6.4. (Теорема Неймана) Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях, если чистую стратегию считать частным случаем смешанной, когда одна вероятностная компонента равна 1, а остальные – нулю. Теорема 6.5. Для того чтобы смешанные стратегии
То есть первый игрок, придерживаясь своей оптимальной стратегии Данная теорема дает ответ на вопрос о существовании решения игры и определяет путь решения. Теорема 6.6. (Об активных стратегиях) Если игроки придерживаются своих активных стратегий, то выполняется следующая система уравнений:
Теорема 6.7. Оптимальные смешанные стратегии 3. Способы решения задач ТИ: 1) Простейшими из матричных игр являются игры Пример 1. Найти решение игры, заданной матрицей:
Решение: 1) Найдем нижнюю и верхнюю цену игры:
Следовательно, 2) Пусть
Решим первую систему. Вычитая из первого второе уравнение системы, получим Аналогично получаем решение второй системы: Ответ: 2) Графический способ решения матричных игр Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей:
Решение: 1) Найдем нижнюю и верхнюю цену игры:
Следовательно, 2) Изобразим стратегии игроков на плоскости pОq (рис. 6.1). Горизонтальной выбирается та ось, которая соответствует игроку с двумя стратегиями. На горизонтальной оси Оp выбирается отрезок Рис. 6.1 Нижняя ломаная соответствует среднему гарантированному выигрышу. Вершина ломаной - максимальный гарантированный выигрыш. Следовательно, цена игры и оптимальные стратегии определяются 3) Составим уравнения этих прямых и определим цену игры с и смешанные стратегии:
Ответ: Замечание 6.1. При решении игры, заданной матрицей 3) Вышеуказанные способы решения задач ТИ имеют ограничение на использование. Способ сведения задачи ТИ к ЗЛП по теореме 6.5 лишен этого недостатка. Задача.Предприятие может выпускать два вида продукции Решение задачи: Упростим платежную матрицу, отбросив стратегии заведомо невыгодные или дублирующие. Так, вторая стратегия (второй столбец) является явно невыгодной по сравнению с первой (элементы второго столбца больше элементов первого столбца), так как цель игрока В – уменьшить выигрыш игрока А. Поэтому второй столбец можно отбросить. Получим матрицу Замечание 6.2. Если в платежной матрице элементы k-той строки не меньше соответствующих элементов s-той, s-тая строка вычеркивается. Замечание 6.3. Если элементы l-того столбца не превосходят соответствующих элементов r-того столбца, то r-тый столбец вычеркивается. Найдем нижнюю и верхнюю цену игры:
Следовательно, Согласно теореме 6.5 о цене игры
Обозначив
В результате получим пару взаимно двойственных задач:
Решив одну из этих задач, получим решение другой. Решать удобнее ту задачу, в которой число столбцов больше числа строк. При этом необходимо выполнить обратный переход:
Вернемся к решению поставленной задачи. По матрице игры
Решим вторую задачу основным симплекс-методом, предварительно преобразовав математическую модель задачи к канонической форме с предпочтительными переменными:
Получили оптимальный план решения второй задачи: По формуле 6.3 получим цену игры Используя формулы 6.1 и 6.2, получим оптимальные смешанные стратегии игроков:
Ответ: Таким образом, в ответе указаны оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли
Педагогический комментарий.Данное лекционное занятие закладывает основы для формирования следующих профессиональных умений студентов-экономистов: умение выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты; умение разрабатывать и обосновывать варианты эффективных производственно-технологических решений; умение ставить цель и формулировать задачи, связанные с профессиональной деятельностью, умение использовать для их решения методы изученных дисциплин; умение логически мыслить; умение совершенствовать составление оперативно-производственного плана с использованием инструментария математического программирования; умение эффективно управлять экономическими процессами и регулировать использование комплекса имеющихся ресурсов; умение вырабатывать компромиссные рекомендации при конфликтных ситуациях принятия решения.
Тема 7. Матричные статистические игры
План лекции: 1. Понятие статистической игры 2. Критерии выбора оптимальной стратегии при решении статистической игры 3. Кооперативные игры
|