Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Переоценка вероятностей сценариев будущего в свете дополнительной информации. Стоимость несовершенной информации




Читайте также:
  1. I. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - ОТ ТЕХНОЛОГИЙ К ИНФОРМАЦИИ
  2. I. Стоимость капитала: сущность и трактовки.
  3. II. Стоимость основных источников финансирования.
  4. Абсолютные и относительные параметры дохода. Источники информации о доходах и расходах населения.
  5. Автоматизированные системы обработки экономической и финансовой информации
  6. Автоматические идентификационные системы (АИС). Назначение, использование информации АИС
  7. Агрегатный индекс может быть преобразован а среднеарифметический и среднегармонический индекс при отсутствии исходной информации для расчета агрегатной формы индекса.
  8. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
  9. Альтернативная стоимость или издержки
  10. Альтернативные издержки и добавленная стоимость

При обсуждении проблемы компании «Энергия палеолита» мы ввели понятие о стоимости совершенной информации, как верхней границы для платы за любую информацию. Там мы отметили, что совершенная информация – это идеал. Любые даже вполне добросовестные реальные прогнозы или предсказания содержат вероятность ошибки. Поэтому стоимость любой реальной, несовершенной информации ниже, чем оцененная выше стоимость совершенной информации EVPI. В настоящем разделе мы рассчитаем стоимость несовершенной информации в зависимости от степени ее достоверности (вероятности ошибки прогноза или предсказания) и увидим насколько эта стоимость ниже EVPI.

Мы оставили проблему компании ЭП после неутешительного вывода о том, что выбор альтернативы «Бурить» крайне чувствителен к вероятности отсутствия нефти на участке. Изменение этой вероятности всего на 5% (что меньше статистической ошибки для оценки этой вероятности) приводит к тому, что EMV1 альтернативы «Бурить» становится меньше EMV2 альтернативы «Продать». Таким образом, рациональный выбор между этими двумя альтернативами невозможен без дополнительной информации.

Допустим, что в случае компании ЭП такую дополнительную информацию можно получить, если привлечь геофизиков, которые могут провести зондирование недр с помощью локации длинных звуковых волн от небольшого взрыва. Агентство, проводящее такую локацию, имеет достаточный опыт проведения работ и накопило значительную статистику, позволяющую судить о надежности метода. Эта статистическая информация сведена на Рис. 252.

Рис.252.

Таблица показывает, что информация, предоставляемая геофизиками, вполне научная, добросовестная, но не совершенная. Действительно, если реально нефти в недрах нет (реальное состояние S1), то в 75% случаев прогноз предсказывает, что ее нет (результат прогноза I1), в 20% случаев методика «видит» средний запас нефти (результат прогноза I2), а в 5% - даже мощный фонтан (результат прогноза I3). Если реально существует средний запас нефти (реальное состояние S2), прогноз в 65 % случаев предсказывает именно «Средний запас» (результат прогноза I2), в 20% случаев - переоценивает запас и предсказывает «Мощный фонтан» (результат прогноза I3), а в 15% случаев, к сожалению, «просматривает» нефть и выдает результат I1 – «Нефти нет». Если залежи нефти соответствуют классификации «Мощный фонтан», прогноз никогда не выдает результат I1 – «Нефти нет», но в 35% случаев недооценивает запас и выдает результат I2 – «Средний запас».



Понятно, что оплата работ Агентства, никак не зависит от того, какой результат они предскажут. Оно должно привести и установить оборудование, затратить расходные материалы и время своих сотрудников, провести компьютерную обработку полевых измерений и, в конце концов, что-то заработать на этом исследовании. Стоимость работ определена в 100 тыс. у.е., и деньги, разумеется, нужно выплатить сразу по выполнении работ.

Цена, которую требуют геофизики, ниже определенной выше стоимости совершенной информации (мы определили EVPI=425 тыс.). Однако сумма весьма значительная. Соответствует ли она степени надежности предоставляемой информации? Стоит ли компании ЭП нанять агентство для проведения этих работ перед принятием решения о бурении? Поможет ли эта (несовершенная) информация снять неопределенность в определении ценности альтернатив, рассматриваемых компанией ЭП и рационально решить, что все-таки делать:



«Бурить» или «Продать»?

Для решения сформулированных вопросов, представим проблему компании ЭП как двухступенчатый процесс принятия решений. На первом шаге следует решить, нанять ли агентство для проведения работ по прогнозированию залегания нефти на данном участке, или не нанимать. На втором этапе следует принять решение, бурить ли скважину или продать землю, в зависимости от результатов прогноза агентства (если на первом шаге было принято решение об его использовании). Дерево альтернатив, отражающее этот двухступенчатый процесс принятия решений, изображено на Рис. 253.

Рис. 253 Дерево альтернатив для проблемы компании ЭП

Рассмотрение дерева начнем с узла №1, в котором следует выбрать одну из альтернатив «Нанять» агентство, проводящее геофизическое исследование недр, или «Не нанимать». Если выбрана альтернатива «Не нанимать», мы попадем в узел №9, где нужно непосредственно (без дополнительной информации) решить «Бурить» или «Продать».

Если выбрана альтернатива «Продать», компания получает 150 тыс., если же выбрана альтернатива «Бурить», ветка дерева приводит нас в черный узел №10, где «судьба определяет» будет ли найдена нефть или нет, и если будет, то в какой объеме. Для сравнения ветвей «Бурить» и «Продать», исходящих из узла №10, нужно вычислить ожидаемую монетарную ценность альтернативы «Бурить», как сумму произведений вероятностей на величины выигрышей.

Собственно, эта часть дерева уже была проанализирована выше с помощью таблицы выигрышей и потерь, в результате чего было найдено, что альтернатива «Бурить» более привлекательна (для нее EMV1=200 тыс.), однако отличие от альтернативы «Продать» (EMV2=150) не слишком велико и полностью ликвидируется увеличением вероятности отсутствия нефти на 2%.

Если выбрана альтернатива «Нанять», ветвь дерева приводит в черный узел №2, где «судьба выбирает», какой прогноз выдаст агентство в результате звуковой локации недр. Агентство может выдать три различных прогноза, которые реализуются с разными вероятностями:

Нефти нет - с вероятностью P(I1)

Средний запас - с вероятностью P(I2)

Мощный фонтан - с вероятностью P(I3)

Эти вероятности нам предстоит определить. Они зависят, во-первых, от априорных вероятностей залегания нефти на данном участке (оценки которых нам известны), а во-вторых, от условных вероятностей правильности прогноза, заданных таблицей 13.

Далее, в зависимости от того, какой прогноз выдаст агентство, ветви дерева приведут нас либо в узел №3 (если выдан прогноз «Нефти нет»), либо в узел №4 (если прогноз – «Средний запас»), либо в узел №5 (при прогнозе «Мощный фонтан»). В любом из этих узлов компании ЭП предстоит принять решение: «Бурить» или «Продать». При выборе альтернативы «Продать» во всех случаях компания получает 150 тыс., а при выборе альтернативы «Бурить», в зависимости от того, какой сценарий будущего реализуется в действительности - 700 тыс., 500 тыс. или 2000 тыс. Мы не включили в дерево альтернатив требуемую агентством плату за проведение исследований 100 тыс., поскольку наша задача – найди предельную стоимость несовершенной информации с точки зрения компании ЭП. Если эта стоимость выше, чем требуемые 100 тыс., компании ЭП следует привлечь агентство для проведения исследований.

Таким образом, все выигрыши, получаемые при попадании в узлы 3-8, следует уменьшить на 100 тыс. В остальном же, участки дерева, исходящие из узлов №№3-5, выглядят точно также, как участок, исходящий из узла №9. Есть ли между этими участками какие-либо различия? Разумеется, есть! Вероятности реализации сценариев будущего в узлах №№6-8 отличаются от априорных вероятностей p1=0,5, p2=0,3 и p3=0,2, оцененных по выборке результатов прошлых бурений на соседских участках, и существенно различаются между собой. Представьте себе, что, разрываясь между альтернативами «Бурить» - «Продать», вы решились нанять агентство для исследования недр на вашем участке и заплатили геофизикам 100 тыс. Они провозились 2 месяца, после чего выдали свое предсказание: «Нефти нет» (мы обозначили это предсказание как I1).

Что вам теперь делать? Если продать участок, вы получите только 50 тыс. Обидно! А вдруг они ошиблись? Ведь их информация несовершенна! С тяжелым чувством вы ложитесь спать, а утром просыпаетесь с твердой уверенностью: нефть есть, надо бурить! Что собственно изменилось после нелепого прогноза этих геофизиков с их непонятной методикой? Ну да, все выигрыши уменьшились на 100 тыс. Теперь, если забьет мощный фонтан, получим не 2000 тыс., а 1900 тыс., а если нефти не найдем, то потеряем не -700 тыс., а -850 тыс. Ну и что? Все равно, почему бы не рискнуть?

Рискнуть, конечно, всегда можно. Однако перед этим неплохо бы оценить, как изменились вероятности предполагаемых сценариев будущего после получения дополнительной информации от геофизиков. Если бы геофизики выдали совершенную информацию, то вероятность того, что нефти нет, после их предсказания «Нефти нет» (мы обозначили ее на дереве альтернатив как P(S1/I1) ) равнялась бы 1, а вероятности того, что нефть имеется в среднем запасе или что забьет мощный фонтан (P(S2/I1), P(S3/I1)) равнялись бы нулю. В этих условиях бурить глупо. Поскольку информация геофизиков несовершенна, P(S2/I1) иP(S3/I1) не равны нулю, но они, по-видимому, существенно уменьшились по сравнению с априорными вероятностями p2=0,3 и p3=0,2, в то время как вероятность отсутствия нефти P(S1/I1) после отрицательного прогноза геофизиков существенно возросла.

Наша задача – определить эти «апостериорные вероятности» P(Si/Ij) различных результатов бурения Si после проведения геофизического исследования недр и получения предсказания Ij. Для решения этой задачи представим получение результата прогноза геофизическим агентством как двухступенчатый вероятностный процесс, изображенный с помощью дерева вероятностей на Рис. 254.

 

Рис. 254. Дерево вероятностей для получения результата исследований недр.

Когда агентство получило заказ от компании ЭП на проведение исследований, ему неизвестно есть ли нефть на данном участке и если есть, то каков ее запас. Возможны три варианта с априорными вероятностями, отраженными на рис.___7. Затем, при использовании геофизиками методики звукового зондирования, возможно три варианта предсказания, выдаваемого ими по результатам исследования. Вероятности этих результатов зависят от реального содержания недр и отражены в таблице 13 и на рис.___7. Вычислим, с какой вероятностью можно ожидать, что геофизики выдадут результат «Нефти нет». Из рис.___7 видно, что этот результат может быть получен тремя путями:

Реально нефти нет (сценарий S1, вероятность p1), и геофизики верно определили, что ее нет (прогноз I1, вероятность P(I1/S1))

Реально нефть в среднем запасе (сценарий S2, вероятность p2), но геофизики неверно определили, что ее нет (прогноз I1, вероятность P(I1/S2))

Реально на участке мощный запас (сценарий S3, вероятность p3), но геофизики неверно определили, что ее нет (прогноз I1, вероятность P(I1/S3), в данном случае, согласно таблице 13, равная нулю)

Вероятность каждого из трех путей (согласно теореме теории вероятностей об умножении вероятностей 2-х событий) равна произведению априорной вероятности pi сценария Si и условной вероятности P(I1/Si), что при данном сценарии Si, геофизическое исследование выдаст результат I1. Поскольку никакие два из этих путей не могут реализоваться одновременно (по терминологии теории вероятностей, они попарно несовместны) эти три произведения вероятностей нужно сложить, чтобы найти вероятность того, что исследование выдаст результат «Нефти нет» (по теореме теории вероятностей о сложении вероятностей несовместных событий):

(5)

Аналогично, для двух других возможных прогнозов геофизиков получим

(5а)

В таблице на Рис. 255 представлены вычисления этих вероятностей с помощью MS-Excel

 

Рис. 255 Полные вероятности возможных прогнозов агентства в зависимости от условных вероятностей правильности прогноза.

Видно, что эти полные вероятности Pj отличаются от априорных вероятностей pj нахождения нефти в сторону занижения вероятности прогноза I1 («Нефти нет») и соответственно завышения вероятностей прогнозов I2 и I3.

Нетрудно проверить, что если бы геофизики всегда правильно диагностировали реальное состояние недр, вероятности Pj совпали бы с вероятностями pj. Для анализа дерева альтернатив компании ЭП, нам, однако, требуются не условные вероятности правильности прогноза геофизиков P(Ij/Si), а другие, «апостериорные», вероятности P(Si /Ij) того, что если геофизики выдали прогноз Ij, то при бурении реализуется состояние недр Si. Эти вероятности можно определить, используя простое рассуждение (известное в теории вероятностей, как теорема Байеса [2]). Запишем вероятность того, что одновременно произошло два случайных события: на участке реально нет нефти (при бурении реализовалось состояние S1) и геофизики предсказали, что нефти нет (выдали прогноз I1):

т.е. как произведение вероятности того, что нефти на участке нет, на условную вероятность того, что при этом осуществится прогноз I1. Собственно, мы уже использовали эту формулу при вычислении полных вероятностей (5), (5а). Формула (6) воспринимается очень естественно (как почти все результаты теории вероятностей) и обычно не вызывает никаких вопросов. Однако с точки зрения теории вероятностей искомую вероятность P(S1, I1) можно записать и по-другому:

 

 

т.е. как произведение вероятности того, что осуществился прогноз I1, на условную вероятность того, что при этом оказалось, что нефти на участке действительно нет. С точки зрения теории вероятностей выражения (6) и (6а) совершенно равноправны, и фактически рассматриваются как определения условных вероятностей P(I1/S1) и P(S1/I1). Психологически, выражение (6) может восприниматься более естественно, потому, что отрицательный прогноз I1 интуитивно рассматривается как следствие того, что нефти на участке действительно нет - S1, в то время как отсутствие нефти S1, конечно, не может рассматриваться как следствие отрицательного прогноза I1. Однако причинно-следственная связь здесь совершенно ни при чем: ведь если мы вычисляем по аналогичной формуле,

вероятность P(S1, I2) того, что нефти на участке нет, а при этом геофизики предсказывают, что есть «Средний запас», вряд ли возможно думать, что прогноз I2 есть следствие того, что реально нефти нет – S1. Так или иначе, оставляя в стороне психологические особенности восприятия результатов теории вероятностей, и приравнивая правые части выражений (6) и (6а), получим выражение для одной из исходных апостериорных вероятностей:

 

т.е., условная вероятность того, что нефть на участке не будет обнаружена, если геофизики выдали прогноз, что ее нет P(S1/I1), равна произведению априорной вероятности отсутствия нефти p1 на условную вероятность P(I1/S1) отрицательного прогноза на участке, где действительно нефти нет, деленное на полную вероятность отрицательного прогноза, рассчитанную по формуле (5).Совершенно аналогично для всех интересующих нас апостериорных вероятностей найдем:

 

 

где полные вероятности прогноза Ij – P(Ij) рассчитываются по формуле (5а).

 

Рис. 256 Вычисление апостериорных вероятностей для проблемы компании ЭП.

Вычисление по формулам (7а) легко провести с помощью Ms-Excel, как показано в таблице 15. Заметим, что для проверки правильности вычисления стоит убедиться, что суммы этих вероятностей по столбцам равны 1 (для таблицы условных вероятностей правильности прогноза сумма вероятностей по строчкам равна 1).

Следует сравнить апостериорные вероятности в каждом столбце (при каждом варианте выданного прогноза) с априорными вероятностями нахождения нефти. Видно, например, что в случае получения прогноза «Нефти нет» вероятность того, что ее действительно нет должна быть оценена как P(S1/I1)=0,89, т.е. значительно возросла по сравнению с априорной вероятностью p1=0,5. Напротив, вероятность наличия нефти в среднем запасе упала примерно до 11%, а вероятность мощного фонтана – до нуля. Это значит, что если будет принято решение продать землю, риск упущенной выгоды при этом составит только 11% (против исходных 50%). В случае, положительных прогнозов I2 или I3, наоборот, существенно возрастают вероятности реально найти нефть и уменьшаются риски, связанные с отрицательным результатом бурения (до 27% в случае прогноза I2 и до 12% в случае прогноза I3 против исходных 50%).

Разумеется, если бы методика геофизиков могла выдавать совершенный прогноз, то все отмеченные выше риски упали бы до нуля, а таблица апостериорных вероятностей, как видно из Рис. 256, совпала бы с таблицей условных вероятностей правильности прогноза. Зная апостериорные вероятности нахождения нефти после выданного прогноза Ij, можно вернуться к анализу дерева альтернатив (рис. 6). На первом шаге анализа необходимо вычислить ожидаемые монетарные стоимости бурения при условии того, что геофизики выдали прогнозы I1, I2 или I3, в узлах №№ 6-8 с учетом найденных апостериорных вероятностей. Обозначим их как EMV6, EMV7, EMV8. Результат вычислений получен в строчке 13 таблицы Рис. 258. Состояние дерева альтернатив после этого шага изображено на Рис. 258 (EMV10=200 было рассчитана ранее). После расчета EMV альтернатив, связанных с бурением их следует сравнить EMV=150 альтернативы «Продать» и выбрать максимальную для каждого из узлов №№6-8. Результат расчета показан в строке 15 (Рис. 257) и на Рис. 258. Таким образом, как и следовало ожидать, анализ дерева показывает, что нужно следовать рекомендациям геофизиков, т.е. продавать землю, если прогноз «Нефти нет» и бурить, если прогноз «Средний запас» или «Мощный фонтан».

Рис. 257. Расчет EMV альтернативы «Нанять» дерева вероятностей компании ЭП

Рис. 258. Первый шаг анализа дерева альтернатив компании ЭП

На следующем шаге анализа нужно найти сумму произведений EMVmax, показанных в строчке 15 таблицы на Рис. 257, и полных вероятностей Pj прогноза Ij, чтобы заменить ветки с плодами, исходящие из узла №2, на единый плод – ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Нанять». Эта сумма произведений вычислена в ячейке С16 (Рис. 257). Полученная величина EMV_нанять=503 тыс. много больше, чем ожидаемая монетарная стоимость альтернативы «Бурить», при условии, что ЭП не нанимает геофизическое агентство: EMV_не нанимать=200. Таким образом, выигрыш от несовершенной информации геофизиков составит EVSI=303 тыс. (EVSI – сокращение от английского Expected Value of Sample [or Survey] Information). Как видно, EVSI в данном случае примерно в полтора раза меньше стоимость совершенной информации EVPI=425 тыс. (рассчитанной ранее). Это верхняя граница того, что ЭП может заплатить за такую информацию (с учетом существующих вероятностей ошибок прогноза). Поскольку агентство требует меньшую плату (100 тыс.), компании ЭП нужно соответствующее исследование заказать и затем следовать полученным рекомендациям. Ожидаемая монетарная стоимость такого поведения превысит ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Бурить» (без использования дополнительной информации) на 203 тыс. (с учетом платы агентству за предоставленную несовершенную информацию).

Интересно выяснить чувствительность принятого решения к вариации априорных вероятностей нахождения нефти. Без дополнительной информации, увеличение вероятности отсутствия нефти всего на 2% ликвидировало всякое различие между EMV альтернатив «Бурить» и «Продать» и не позволяло принять рационального решения. Посмотрим, как будет меняться EMV_нанять при вариации этой вероятности в сравнении с EMV альтернативы «Не нанимать». Как и раньше, будет изменять вероятность p1 («Нефти нет») за счет вероятности p3=1-p1-p2 («Мощный фонтан»). Показанный на Рис. 259 лист MS-Excel позволяет легко провести такой анализ (по сравнению с таблицей 16 сюда добавлен расчет EMV альтернативы «Не нанимать») и резюмировать его с помощью таблицы подстановок. Результат так же приведен на Рис. 259.

Рис 259. Анализ устойчивости решения для дерева альтернатив компании ЭП

 

Видно, что по сравнению с исследованной выше ситуацией принятия решения лишь на основе априорных вероятностей, интервал устойчивости выбора оптимальной альтернативы расширился с 2% до 12% изменения вероятности p1.

Лишь при увеличении вероятности отсутствия нефти до 62% стоимость несовершенной информации практически сравнивается с требуемой платой за проведения геофизических исследований (что делает альтернативу «Нанять» агентство невыгодной). При этом, однако, нетрудно проверить, что в этом случае альтернатива «Бурить» стоит -124 тыс., что не оставляет сомнений в правильности альтернативы «Продать» и без привлечения геофизиков. Уменьшение вероятности p1 до 19% также делает найм агентства невыгодным. Но

опять-таки видно, что в этом случае он абсолютно излишен, так как стоимость альтернативы «Бурить» становится равной 1037 тыс., что не оставляет сомнений в необходимости «Бурить».

Таким образом, привлечение дополнительной (пусть и несовершенной информации) позволяет разрешить проблему неопределенности выбора компании «Энергия палеолита» и принять рациональное решение.

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 24; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты