Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття




Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань

 

(1)

 

Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою

 

або

(2)

Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

 

Так-як вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

 

(3)

 

або з урахуванням того, що одержуємо:

Рис.1

 

(4)

і

 

(5)

 

 

Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює

 

(6)

 

Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо

 

(7)

 

Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.

Якщо де ( ), то ;

Якщо де ( ), то .

Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:

 

(8)

 

Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і ( ). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами і близькими циклічними частотами і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому

 

(9)

 

(10)

 

Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .

Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття

 

(11)

 

Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою

(12)

 

Вираз (12) підставимо в (11)

 

. (13)

 

або

(14)

Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)

 

(15)

 

Результуюче коливання биття матиме вигляд:

 

(16)

 

де – амплітуда биття.

Рис.2

Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):

 

Рис. 3

Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття

 

, звідки (17)

 

Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою

 

, звідки (18)

 

Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено

 

(19)

 

За час відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому

 

(20)

 

З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться

 

 

(21)

 

 

звідки а для частот

 

В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:

 

(22)

 

Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.

 

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 17; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты