Згасаючі коливання

Реальні коливання відбуваються в умовах дії сил тертя (опору). І тому реальні коливні системи є дисипативними, в яких механічна енергія частково втрачається, що призводить до поступового зменшення амплітуди, тобто до згасання коливань. Для спрощення обмежимось випадком лінійного коливання матеріальної точки у в’язкому середовищі. Якщо швидкість коливального руху невелика, то сила опору пропорційна до швидкості і напрямлена проти швидкості, тобто

,

де r – коефіцієнт опору.

Тоді за другим законом Ньютона

. (5.27)

Розділивши рівність (5.27) на m, отримаємо

. (5.28)

Введемо позначення

.

Рівняння (5.28) матиме вигляд диференціального рівняння згасаючих коливань:

. (5.29)

Підстановкою

(5.30)

приведемо рівняння (5.29) до простішого вигляду (тут е – основа натурального логарифму). Заміну змінних у (5.29) проведемо за допомогою рівнянь

(5.31)

Підставляючи (5.30) і (5.31) у (5.29), отримаємо

або

. (5.32)

У випадку, коли , можна ввести заміну Тоді рівняння (5.32) прийме вигляд

(5.33)

розв’язком якого є

. (5.34)

У випадку, коли , рух матеріальної точки буде неперіодичним (аперіодичним).

Підставляючи (5.34) у (5.30), одержимо рівняння руху коливної точки під дією квазіпружної сили та сили опору, тобто рівняння згасаючих коливань:

. (5.35)

З (5.35) видно, що амплітуда коливань зменшується з часом за експоненціальним законом (рис. 5.6):

. (5.36)

Фізично β характеризує швидкість зменшення амплітуди і називається коефіцієнтом згасання. Можна показати, що β чисельно дорівнює оберненій величині часу τ, протягом якого амплітуда зменшується в е раз. Дійсно, якщо , то із (5.36) слідує, що

.

Звідси

.

Зручно користуватись поняттям логарифмічного декременту згасання λ, як натурального логарифму відношення двох послідовних амплітуд (через період Т):

.