Межі числових множин

Нехай задано непорожню числову множину .

Множина називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

Множина називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

При цьому числа і називаються відповідно верхньою та нижньою межею множини .

Множина, яка обмежена зверху й знизу, називається обмеженою.

Очевидно, що будь-яка обмежена зверху (знизу) множина має безліч верхніх (нижніх) меж.

Найменша верхня межа обмеженої зверху множини називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається (supremum (лат.) – найвище).

Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається (infimum (лат.) – найнижче).

Якщо , то для довільного числа існує таке, що . Якщо , то для довільного числа існує таке, що .

Теорема. Будь-яка непорожня обмежена зверху числова множина має точну верхню межу. Якщо ж вона обмежена знизу, то має точну нижню межу.

Доведення. Нехай – непорожня обмежена зверху числова множина. Тоді множина чисел, які обмежують зверху, непорожня. Із означення верхньої межі випливає, що виконується нерівність . За аксіомою неперервності дійсних чисел існує таке число , що виконується нерівність .

Із цієї нерівності випливає, що обмежує зверху, тобто є верхньою межею, і є найменшим із усіх верхніх меж, тобто є точною верхньою межею.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Якщо множина не обмежена зверху ( знизу ), то за домовленістю пишуть .