Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.




Читайте также:
  1. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
  2. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
  3. Трансформатор. Передача електроенергії на великі відстані

Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа існує такий номер , що для всіх елементів із номером виконується нерівність .

Зауваження. У наведеному означенні номер залежить від числа , тобто .

Очевидно, що всяка нескінченно велика послідовність є необмеженою, проте не всяка необмежена послідовність є нескінченно великою. Наприклад, необмежена послідовність 0, 1, 0, 2, 0, 3, ..., n, 0, n+1, … не є нескінченно великою, оскільки не існує такого номера , щоб для всіх , де виконувалася б, наприклад, нерівність .

Послідовність називається нескінченно малою, якщо для будь-якого (як завгодно малого) числа існує такий номер , що для всіх елементів із номером виконується нерівність .

Зауваження. У наведеному означенні номер залежить від числа , тобто .

Приклад 1. Показати, що послідовність є нескінченно великою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівності або .

 

Покладемо .

Тоді . Оскільки , то . Отже, при виконується нерівність .

Приклад 2. Показати, що послідовність є нескінченно малою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівності одержуємо . Покладемо . Тоді для всіх маємо , тобто або .

 

Теорема. Якщо - нескінченно велика послідовність і всі її члени відмінні від нуля, то послідовність нескінченно мала, і, навпаки, якщо - нескінченно мала послідовність й , то послідовність нескінченно велика.

Доведення. Нехай - нескінченно велика послідовність. Візьмемо довільне і покладемо . Оскільки нескінченно велика послідовність, то для вказаного існує номер такий, що при виконується нерівність . Звідси маємо . Отже, послідовність - нескінченно мала.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

 

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 9; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты