Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Збіжні послідовності




Читайте также:
  1. В якій послідовності вмикаються електродвигуни в АВМ?
  2. Монотонні послідовності
  3. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
  4. Означення числової послідовності
  5. Підпослідовність числової послідовності
  6. Функція називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до .

 

 

Границя числової послідовності. Число називається границею послідовності , якщо для будь-якого числа існує такий номер , що для всіх членів послідовності із номером виконується нерівність

 

. (2)

 

Якщо число є границею послідовності , то пишуть

 

,

 

а саму послідовність називають збіжною.

Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.

Приклад.Довести, що .

Доведення. Задамо довільне число і покажемо, що існує таке натуральне число , що для всіх членів послідовності із номером виконується нерівність .

Оскільки , то

 

.

 

Розв'язавши відносно нерівність , маємо .

Якщо в значенні узяти цілу частину числа , тобто покласти , то нерівність виконується для всіх . Отже, .

 

Якщо послідовність збіжна і , то будь-який її елемент можна подати у вигляді , де - елемент нескінченно малої послідовності .

Дійсно, якщо , то послідовність є нескінченно малою, оскільки для будь-якого існує такий номер , що для виконується нерівність , тобто .

Має місце й обернене твердження. Якщо можна подати у вигляді , де - нескінченно мала послідовність, то .

Нерівність (2) рівносильна нерівності або ,

із якої випливає, що знаходиться в околі точки . Отже, означення границі числової послідовності можна дати наступним чином.

Число називається границею послідовності , якщо для будь-якого числа існує такий номер , що всі члени послідовності із номером знаходяться в околі точки .

Очевидно, що нескінченно велика послідовність не має границі. Іноді говорять, що вона має нескінченну границю і пишуть

 

.

 

Якщо при цьому, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності додатні ( від'ємні ), то пишуть .

Усяка нескінченно мала послідовність збіжна, причому .

Це безпосередньо випливає з означення границі числової послідовності й означення нескінченно малої числової послідовності.


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 19; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты