Граничний перехід у нерівностях

Теорема . Якщо елементи збіжної послідовності , починаючи з деякого номера , задовольняють нерівність , то і границя цієї послідовності задовольняє нерівність .

Доведення. Нехай, починаючи з деякого номера , елементи збіжної послідовності задовольняють нерівність і . Припустимо, що . Оскільки , то для існує номер такий, що для виконується нерівність , яка рівносильна нерівності . Тоді із нерівності одержуємо: , що суперечить умові. Отже, .

Випадок доводиться аналогічно.

Наслідок 1. Якщо елементи збіжних послідовностей і , починаючи з деякого номера , задовольняють нерівність , то .

Нехай, починаючи з деякого номера, виконується нерівність . Тоді для таких . Отже, , а тому . Звідси маємо . Другий випадок установлюється аналогічно.

Теорема. Нехай члени послідовностей , , , починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність і . Тоді послідовність збіжна й .

Доведення. Задамо довільне число . Тоді для заданого знайдеться такий номер , що для виконуватиметься нерівність , тобто . Для цього ж знайдеться такий номер , що для , тобто .

Виберемо . Тоді виконуватиметься нерівність

для всіх .

Ураховуючи умову теореми, маємо

або , тобто для всіх . Звідси випливає, що .