Підпослідовність числової послідовності

Нехай задана деяка послідовність . Розглянемо довільну зростаючу послідовність натуральних чисел . Виберемо з послідовності елементи з номерами , і розмістимо їх в тому самому порядкові, що і числа .

Одержана числова послідовність називається підпослідовністю послідовності . Можна встановити, що коли послідовність збіжна і має границею число , то будь-яка її підпослідовність також збіжна й має границею число .

3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса

Теорема. Із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай послідовність обмежена, тобто існує такий відрізок , що для всіх виконується нерівність . Поділимо відрізок пополам. Тоді принаймні в одній половині буде міститися нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо цю половину . Поділимо тепер відрізок на два рівних відрізки і знову виберемо той із них, у якому міститься нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо його . Продовжуючи цей процес, дістанемо послідовність укладених відрізків

,

у яких довжина -го відрізка прямує до нуля при . Отже, за теоремою про вкладені відрізки .

Побудову підпослідовності послідовності виконаємо так: у значенні виберемо довільний елемент із , який належить відрізку , у значенні - довільний елемент із , котрий належить відрізку і т. д. Оскільки для вибраних таким чином елементів виконується нерівність , то за теоремою 2.7 .

4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

Означення границі числової послідовності не дає змоги встановлювати збіжність чи розбіжність числової послідовності, якщо не задано значення самої границі. Воно лише дає можливість перевіряти, чи є число границею даної послідовності, чи ні. Отже, виникає необхідність у наявності критерію збіжності числової послідовності, у якому б саме значення границі було відсутнє, тобто щоб цей критерій виявив "внутрішню" структуру збіжної послідовності. Такий критерій був установлений чеським математиком Больцано і французьким математиком Коші. Нині він має назву критерію Коші.

Теорема. Щоб точка була точкою дотику множини , необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність точок із , яка збігається до .

Нехай – дві множини простору . Множина називається щільною у , якщо . Зокрема, множина називається скрізь щільною у просторі , якщо .

Наприклад, множина раціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій.

Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто в кожній кулі існує інша куля , яка не має з жодної спільної точки.

Простори, в яких є злічена скрізь щільна множина, називаються сепарабельними.

Множина метричного простору називається замкнутою, якщо , тобто якщо вона містить усі свої граничні точки.

Відрізок числової прямої є замкнутою множиною.

Теорема. Переріз будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною.

Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо існує окіл цієї точки, який цілком міститься в .

Множина, всі точки якої − внутрішні, називається відкритою.

Інтервал числової прямої є відкритою множиною.

Теорема. Щоб множина була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповнення до всього простору було замкнутим.

Теорема. Об'єднання (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною. Переріз (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 1.5. Усяка відкрита множина на числовій прямій є сумою (об'єднанням) скінченного або зчисленного числа інтервалів, які попарно не перетинаються (не мають спільних елементів).