Односторонні границі

Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для будь-якої збіжної до послідовності , елементи якої більші (менші) , відповідна послідовність збігається до числа .

Символічно це записують так:

.

Можна дати рівносильне означення односторонніх границь функції "в термінах ".

Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для довільного числа існує таке , що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Теорема.Функція має в точці границю тоді й тільки тоді, коли в цій точці існує як права, так і ліва границя та ці границі рівні між собою. У цьому випадку границя функції дорівнює одностороннім границям.

Доведення. Нехай у точці існують односторонні границі функції і . Тоді, згідно з означенням односторонніх границь, для будь-якого існують числа , такі, що для всіх , які задовольняють умову , і для всіх , котрі задовольняють умову , виконується нерівність . Виберемо . Тоді для всіх , що задовольняють умову , виконуватиметься нерівність . Тобто . З іншого боку, якщо , то в точці існують односторонні границі й .