Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.




Читайте также:
  1. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
  2. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.
  3. Банк, його види, операції та функції
  4. Банки як провідні фінансові посередники, їх призначення і функції.
  5. Банківський маркетинг: суть, функції та об’єкти досліджень
  6. Визначити значення функції y
  7. Визначні границі
  8. Використання логічних функцій в базах даних. Функції
  9. Відбивання від ідеально провідної границі (метал) ТЕ, ТМ хвилі.

 

 

Нехай функція визначена на множині і точка є граничною точкою множини . Виберемо із послідовність точок, відмінних від : збіжну до . Значення функції в точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність .

 

Означення границі функції за Гейне. Число називається границею функції у точці ( або при ), якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу , відмінних від , відповідна послідовність значень функції збігається до числа .

Символічно це записують так: .

Означення границі функції за Коші. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки . Число називається границею функції у точці , якщо для довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , що задовольняють умову .

Означення границі функції за Гейне і за Коші еквівалентні.

Дійсно, нехай згідно з Гейне. Покажемо, що в цьому випадку для довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , що задовольняють умову , тобто що згідно з означенням Коші.

Припустимо протилежне. Нехай існує таке, що для довільного існує точка , для якої з умови випливає нерівність . Розглянемо послідовність , де . Виберемо точки такі, що

 

(1)

і

. (2)

 

Оскільки , то , але за нерівністю (2) , що суперечить умові, тобто що згідно з Гейне.

Нехай тепер згідно з Коші. Покажемо, що і згідно з Гейне.

Отже, нехай для будь-якого існує число таке, що із нерівності випливає нерівність . Виберемо довільну послідовність точок збіжну до . Тоді для значення , відповідного , знайдеться такий номер , що для всіх виконуватимуться нерівності і разом із тим . Оскільки вибір був довільним, то це означає, що для довільної послідовності із умови випливає умова , тобто що за Гейне.

Еквівалентність означень границі функції за Гейне і за Коші дає можливість використовувати будь-яке із них залежно від того, яке є більш зручним для розв'язування тієї чи іншої задачі.

 

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 160; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты