Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Властивості збіжних послідовностей




Читайте также:
  1. Види й властивості інформації
  2. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
  3. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
  4. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
  5. Властивості відносин.
  6. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
  7. Властивості реальних газів, рідин і твердих тіл
  8. Гетерополiсахариди (приклади, властивості).
  9. Деякі властивості дійсних чисел

 

 

ТеоремаЗбіжна послідовність має єдину границю.

Доведення. Припустимо, що збіжна послідовність має дві різні границі і , тобто . Тоді та , де і - елементи нескінченно малих послідовностей та . Отже, або Оскільки , за властивістю нескінченно малих послідовностей, є елементами нескінченно малої послідовності, а постійне число, то . Таким чином, .

Теорема. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Доведення. Нехай і - номер, починаючи з якого виконується нерівність , де . Тоді

 

 

для всіх . Виберемо . За цієї умови для будь-якого .

Зазначимо, що не всяка обмежена послідовність є збіжною. Наприклад, послідовність обмежена, але не збіжна.

 

 

Теорема 2.6. Якщо і - збіжні послідовності, то:

1. Послідовність , яка є сумою (різницею) збіжних послідовностей та , збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей, тобто .

 

2. Послідовність , яка є добутком збіжних послідовностей й , збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто .

3. Послідовність , яка є часткою збіжних послідовностей та , за умови , збіжна і її границя дорівнює частці границь цих послідовностей, тобто .

Доведення. Нехай і - збіжні послідовності та . Тоді і , де й – елементи нескінченно малих послідовностей і . Покажемо, що має місце:

 

1) .

 

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то звідси випливає, що .

 

2) .

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то .

Тобто .

 

3)

Послідовність є нескінченно малою. Покажемо, що послідовність обмежена. Оскільки і , то для існує такий номер , що для всіх виконується нерівність ,

отже, , тобто , а тому для всіх . Звідси випливає, що послідовність обмежена.

Таким чином, послідовність нескінченно мала, а тому

 

,

тобто

, де .

 

Зауваження. Пункт 1) наведеної теореми допускає узагальнення на довільне скінченне число доданків. Пункт 2) - на довільне скінченне число множників. Із пункту 2) випливає, що постійний множник можна виносити за знак границі, тобто

 

.



 

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 22; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.016 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты